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Theorem seqfveq2 11345
Description: Equality of sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfveq2.1  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqfveq2.2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  ( G `  K
) )
seqfveq2.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
seqfveq2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
Assertion
Ref Expression
seqfveq2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, K    k, N    ph, k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    M( k)

Proof of Theorem seqfveq2
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfveq2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
2 eluzfz2 11065 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  N  e.  ( K ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( K ... N ) )
4 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  (
x  e.  ( K ... N )  <->  K  e.  ( K ... N ) ) )
5 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  K
) )
6 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  K
) )
75, 6eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  x )  =  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  K )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 K ) ) )
84, 7imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 x ) )  <-> 
( K  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  K )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 K ) ) ) )
98imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( K  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  K )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 K ) ) ) ) )
10 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( K ... N )  <->  n  e.  ( K ... N ) ) )
11 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) )
12 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  n
) )
1311, 12eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  x )  =  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) )
1410, 13imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 x ) )  <-> 
( n  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) ) )
1514imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) ) ) )
16 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( K ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N
) ) )
17 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
18 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
1917, 18eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  x )  =  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  K
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
2016, 19imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 x ) )  <-> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  K
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
2120imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  K
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
22 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( K ... N )  <->  N  e.  ( K ... N ) ) )
23 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) )
24 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  N
) )
2523, 24eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  x )  =  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) )
2622, 25imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 x ) )  <-> 
( N  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) ) )
2726imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) ) ) )
28 seqfveq2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  ( G `  K
) )
29 seqfveq2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
30 eluzelz 10496 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
3129, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
32 seq1 11336 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  K
)  =  ( G `
 K ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 K )  =  ( G `  K
) )
3428, 33eqtr4d 2471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 K ) )
3534a1d 23 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  K )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 K ) ) )
3635a1i 11 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( K  e.  ( K ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  K )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 K ) ) ) )
37 peano2fzr 11069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )  ->  n  e.  ( K ... N ) )
3837adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  n  e.  ( K ... N ) )
3938expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  n  e.  ( K ... N
) ) )
4039imim1d 71 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
n  e.  ( K ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  =  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  =  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  n
) ) ) )
41 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  n
)  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
42 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K ) )
43 uztrn 10502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4442, 29, 43syl2anr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
45 seqp1 11338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
47 seqp1 11338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
4847ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
49 eluzp1p1 10511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
5049ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
51 elfzuz3 11056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
5251ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
53 elfzuzb 11053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ) )
5450, 52, 53sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )
55 seqfveq2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
5655ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
5756adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
58 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
59 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
6058, 59eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 k )  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
6160rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  ( A. k  e.  (
( K  +  1 ) ... N ) ( F `  k
)  =  ( G `
 k )  -> 
( F `  (
n  +  1 ) )  =  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
6254, 57, 61sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) )
6362oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  ( (  seq  K (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
6448, 63eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6546, 64eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  <->  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
6641, 65syl5ibr 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  G ) `  n
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  K
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
6766expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  =  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  n
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  K
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
6867a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  =  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
6940, 68syld 42 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
n  e.  ( K ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  =  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  (  seq  K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
7069expcom 425 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( K ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 n ) )  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( K ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  K
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
7170a2d 24 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( K ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  K
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
729, 15, 21, 27, 36, 71uzind4 10534 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) ) )
731, 72mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( K ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) )
743, 73mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1c1 8991    + caddc 8993   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043    seq cseq 11323
This theorem is referenced by:  seqfeq2  11346  seqfveq  11347  seqz  11371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324
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