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Theorem seqhomo 11371
Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqhomo.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqhomo.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqhomo.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqhomo.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
seqhomo.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
seqhomo  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, H, y    x, M, y    x, N, y    ph, x, y    x, G   
x,  .+ , y    x, Q, y    x, S, y
Allowed substitution hint:    G( y)

Proof of Theorem seqhomo
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqhomo.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11066 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2497 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  M
) )
65fveq2d 5733 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  M )
) )
7 fveq2 5729 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  M
) )
86, 7eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  M )
) )
94, 8imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  M )
) ) )
109imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  M ) ) ) ) )
11 eleq1 2497 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
12 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) )
1312fveq2d 5733 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) )
14 fveq2 5729 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
) )
1513, 14eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  n )
) )
1611, 15imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  n )
) ) )
1716imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) ) )
18 eleq1 2497 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
19 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2019fveq2d 5733 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
21 fveq2 5729 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
2220, 21eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
2318, 22imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2423imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
25 eleq1 2497 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
26 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) )
2726fveq2d 5733 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )
) )
28 fveq2 5729 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  N
) )
2927, 28eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  N )
) )
3025, 29imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( N  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  N )
) ) )
3130imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) ) )
32 eluzfz1 11065 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
34 seqhomo.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
3534ralrimiva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x ) )
36 fveq2 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
3736fveq2d 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  M )
) )
38 fveq2 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( G `  x )  =  ( G `  M ) )
3937, 38eqeq12d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  M
) )  =  ( G `  M ) ) )
4039rspcv 3049 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  ( H `  ( F `  M ) )  =  ( G `  M
) ) )
4133, 35, 40sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H `  ( F `  M )
)  =  ( G `
 M ) )
42 eluzel2 10494 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
43 seq1 11337 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
441, 42, 433syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
4544fveq2d 5733 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  ( H `  ( F `
 M ) ) )
46 seq1 11337 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
471, 42, 463syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
4841, 45, 473eqtr4d 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  M ) )
4948a1d 24 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  M ) ) )
5049a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  M )
) ) )
51 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
52 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
53 peano2fzr 11070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5451, 52, 53syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5554expr 600 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
5655imim1d 72 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) )
57 oveq1 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H `  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n )  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
58 seqp1 11339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5958ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6059fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
61 seqhomo.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
6261ralrimivva 2799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) ) )
6362adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( H `  x
) Q ( H `
 y ) ) )
64 elfzuz3 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
65 fzss2 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6654, 64, 653syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6766sselda 3349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... n ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
68 seqhomo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6968adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
7067, 69syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
71 seqhomo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7271adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7351, 70, 72seqcl 11344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )  e.  S )
7468ralrimiva 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
7574adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
76 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
7776eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
7877rspcv 3049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )
7952, 75, 78sylc 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
)
80 oveq1 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( x  .+  y
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)
8180fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
) )
82 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) )
8382oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) )
8481, 83eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  y ) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) ) )
85 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  .+  y
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8685fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
87 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8887oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8986, 88eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  .+  y
) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
9084, 89rspc2v 3059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  e.  S  /\  ( F `
 ( n  + 
1 ) )  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) )  ->  ( H `  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( H `
 ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
9173, 79, 90syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  ->  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
9263, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
9335adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ( H `  ( F `  x ) )  =  ( G `
 x ) )
9476fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
95 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
9694, 95eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
9796rspcv 3049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
9852, 93, 97sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) )
9998oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( H `
 ( F `  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
10060, 92, 993eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
101 seqp1 11339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M ( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
102101ad2antrl 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  M ( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
103100, 102eqeq12d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  <->  ( ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
10457, 103syl5ibr 214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
105104expr 600 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
106105a2d 25 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
10756, 106syld 43 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
108107expcom 426 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  n )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
109108a2d 25 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  n )
) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
11010, 17, 24, 31, 50, 109uzind4 10535 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) )
1111, 110mpcom 35 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) ) )
1123, 111mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706    C_ wss 3321   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   1c1 8992    + caddc 8994   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   ...cfz 11044    seq cseq 11324
This theorem is referenced by:  seqfeq4  11373  seqdistr  11375  seqof  11381  fsumrelem  12587  efcj  12695  gsumwmhm  14791  gsumzmhm  15534  elqaalem2  20238  logfac  20496  prmorcht  20962  pclogsum  21000  gamcvg2lem  24844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-seq 11325
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