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Theorem seqhomo 11109
Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqhomo.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqhomo.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqhomo.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqhomo.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
seqhomo.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
seqhomo  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, H, y    x, M, y    x, N, y    ph, x, y    x, G   
x,  .+ , y    x, Q, y    x, S, y
Allowed substitution hint:    G( y)

Proof of Theorem seqhomo
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqhomo.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 10820 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  M
) )
65fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  M )
) )
7 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  M
) )
86, 7eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  M )
) )
94, 8imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  M )
) ) )
109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  M ) ) ) ) )
11 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
12 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) )
1312fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) )
14 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
) )
1513, 14eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  n )
) )
1611, 15imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  n )
) ) )
1716imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) ) )
18 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
19 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2019fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
21 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
2220, 21eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
2318, 22imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2423imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
25 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
26 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) )
2726fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )
) )
28 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  N
) )
2927, 28eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  N )
) )
3025, 29imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( N  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  N )
) ) )
3130imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) ) )
32 eluzfz1 10819 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
331, 32syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
34 seqhomo.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
3534ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x ) )
36 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
3736fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  M )
) )
38 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( G `  x )  =  ( G `  M ) )
3937, 38eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  M
) )  =  ( G `  M ) ) )
4039rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  ( H `  ( F `  M ) )  =  ( G `  M
) ) )
4133, 35, 40sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H `  ( F `  M )
)  =  ( G `
 M ) )
42 eluzel2 10251 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
43 seq1 11075 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
441, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
4544fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  ( H `  ( F `
 M ) ) )
46 seq1 11075 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
471, 42, 463syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
4841, 45, 473eqtr4d 2338 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  M ) )
4948a1d 22 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  M ) ) )
5049a1i 10 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  M )
) ) )
51 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
52 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
53 peano2fzr 10824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5451, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5554expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
5655imim1d 69 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) )
57 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H `  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n )  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
58 seqp1 11077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5958ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6059fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
61 seqhomo.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
6261ralrimivva 2648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) ) )
6362adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( H `  x
) Q ( H `
 y ) ) )
64 elfzuz3 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
65 fzss2 10847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6654, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6766sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... n ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
68 seqhomo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6968adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
7067, 69syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
71 seqhomo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7271adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7351, 70, 72seqcl 11082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )  e.  S )
7468ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
7574adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
76 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
7776eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
7877rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )
7952, 75, 78sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
)
80 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( x  .+  y
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)
8180fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
) )
82 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) )
8382oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) )
8481, 83eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  y ) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) ) )
85 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  .+  y
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8685fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
87 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8887oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8986, 88eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  .+  y
) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
9084, 89rspc2v 2903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  e.  S  /\  ( F `
 ( n  + 
1 ) )  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) )  ->  ( H `  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( H `
 ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
9173, 79, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  ->  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
9263, 91mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
9335adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ( H `  ( F `  x ) )  =  ( G `
 x ) )
9476fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
95 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
9694, 95eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
9796rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
9852, 93, 97sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) )
9998oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( H `
 ( F `  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
10060, 92, 993eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
101 seqp1 11077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M ( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
102101ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  M ( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
103100, 102eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  <->  ( ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
10457, 103syl5ibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
105104expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
106105a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
10756, 106syld 40 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
108107expcom 424 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  n )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
109108a2d 23 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  n )
) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
11010, 17, 24, 31, 50, 109uzind4 10292 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) )
1111, 110mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) ) )
1123, 111mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    seq cseq 11062
This theorem is referenced by:  seqfeq4  11111  seqdistr  11113  seqof  11119  fsumrelem  12281  efcj  12389  gsumwmhm  14483  gsumzmhm  15226  elqaalem2  19716  logfac  19970  prmorcht  20432  pclogsum  20470  fprodneg  25481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063
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