MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqid3 Unicode version

Theorem seqid3 11330
Description: A sequence that consists entirely of zeroes (or whatever the identity  Z is for operation  .+) sums to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqid3.1  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  =  Z )
seqid3.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqid3.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  =  Z )
Assertion
Ref Expression
seqid3  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Distinct variable groups:    x,  .+    x, F    x, M    ph, x    x, Z    x, N

Proof of Theorem seqid3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqid3.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 seqid3.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  =  Z )
3 fvex 5709 . . . . 5  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
43elsnc 3805 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  e.  { Z }  <->  ( F `  x )  =  Z )
52, 4sylibr 204 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  { Z } )
6 seqid3.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  =  Z )
7 ovex 6073 . . . . . . 7  |-  ( Z 
.+  Z )  e. 
_V
87elsnc 3805 . . . . . 6  |-  ( ( Z  .+  Z )  e.  { Z }  <->  ( Z  .+  Z )  =  Z )
96, 8sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  e.  { Z } )
10 elsni 3806 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { Z }  ->  x  =  Z )
11 elsni 3806 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { Z }  ->  y  =  Z )
1210, 11oveqan12d 6067 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
x  .+  y )  =  ( Z  .+  Z ) )
1312eleq1d 2478 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
( x  .+  y
)  e.  { Z } 
<->  ( Z  .+  Z
)  e.  { Z } ) )
149, 13syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
x  .+  y )  e.  { Z } ) )
1514imp 419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  { Z } )
161, 5, 15seqcl 11306 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e. 
{ Z } )
17 elsni 3806 . 2  |-  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  { Z }  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  Z )
1816, 17syl 16 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {csn 3782   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007    seq cseq 11286
This theorem is referenced by:  seqid  11331  ser0  11338  gsumval2  14746  mulgnn0z  14873  gsumval3  15477  lgsval2lem  21051  prodf1  25180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-seq 11287
  Copyright terms: Public domain W3C validator