MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqid3 Structured version   Unicode version

Theorem seqid3 11398
Description: A sequence that consists entirely of zeroes (or whatever the identity  Z is for operation  .+) sums to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqid3.1  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  =  Z )
seqid3.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqid3.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  =  Z )
Assertion
Ref Expression
seqid3  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Distinct variable groups:    x,  .+    x, F    x, M    ph, x    x, Z    x, N

Proof of Theorem seqid3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqid3.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 seqid3.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  =  Z )
3 fvex 5771 . . . . 5  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
43elsnc 3861 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  e.  { Z }  <->  ( F `  x )  =  Z )
52, 4sylibr 205 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  { Z } )
6 seqid3.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  =  Z )
7 ovex 6135 . . . . . . 7  |-  ( Z 
.+  Z )  e. 
_V
87elsnc 3861 . . . . . 6  |-  ( ( Z  .+  Z )  e.  { Z }  <->  ( Z  .+  Z )  =  Z )
96, 8sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  e.  { Z } )
10 elsni 3862 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { Z }  ->  x  =  Z )
11 elsni 3862 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { Z }  ->  y  =  Z )
1210, 11oveqan12d 6129 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
x  .+  y )  =  ( Z  .+  Z ) )
1312eleq1d 2508 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
( x  .+  y
)  e.  { Z } 
<->  ( Z  .+  Z
)  e.  { Z } ) )
149, 13syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
x  .+  y )  e.  { Z } ) )
1514imp 420 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  { Z } )
161, 5, 15seqcl 11374 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e. 
{ Z } )
17 elsni 3862 . 2  |-  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  { Z }  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  Z )
1816, 17syl 16 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   {csn 3838   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   ZZ>=cuz 10519   ...cfz 11074    seq cseq 11354
This theorem is referenced by:  seqid  11399  ser0  11406  gsumval2  14814  mulgnn0z  14941  gsumval3  15545  lgsval2lem  21121  prodf1  25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-seq 11355
  Copyright terms: Public domain W3C validator