MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqid3 Unicode version

Theorem seqid3 11179
Description: A sequence that consists entirely of zeroes (or whatever the identity  Z is for operation  .+) sums to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqid3.1  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  =  Z )
seqid3.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqid3.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  =  Z )
Assertion
Ref Expression
seqid3  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Distinct variable groups:    x,  .+    x, F    x, M    ph, x    x, Z    x, N

Proof of Theorem seqid3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqid3.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 seqid3.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  =  Z )
3 fvex 5619 . . . . 5  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
43elsnc 3739 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  e.  { Z }  <->  ( F `  x )  =  Z )
52, 4sylibr 203 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  { Z } )
6 seqid3.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  =  Z )
7 ovex 5967 . . . . . . 7  |-  ( Z 
.+  Z )  e. 
_V
87elsnc 3739 . . . . . 6  |-  ( ( Z  .+  Z )  e.  { Z }  <->  ( Z  .+  Z )  =  Z )
96, 8sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  e.  { Z } )
10 elsni 3740 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { Z }  ->  x  =  Z )
11 elsni 3740 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { Z }  ->  y  =  Z )
1210, 11oveqan12d 5961 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
x  .+  y )  =  ( Z  .+  Z ) )
1312eleq1d 2424 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
( x  .+  y
)  e.  { Z } 
<->  ( Z  .+  Z
)  e.  { Z } ) )
149, 13syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
x  .+  y )  e.  { Z } ) )
1514imp 418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  { Z } )
161, 5, 15seqcl 11155 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e. 
{ Z } )
17 elsni 3740 . 2  |-  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  { Z }  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  Z )
1816, 17syl 15 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {csn 3716   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   ZZ>=cuz 10319   ...cfz 10871    seq cseq 11135
This theorem is referenced by:  seqid  11180  ser0  11187  gsumval2  14553  mulgnn0z  14680  gsumval3  15284  lgsval2lem  20651  prodf1  24520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-seq 11136
  Copyright terms: Public domain W3C validator