Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqof Structured version   Unicode version

Theorem seqof 11380
 Description: Distribute function operation through a sequence. Note that is an implicit function on . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
seqof.1
seqof.2
seqof.3
Assertion
Ref Expression
seqof
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   , ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem seqof
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqof.2 . . . . 5
2 fvex 5742 . . . . . . . . 9
32rgenw 2773 . . . . . . . 8
4 eqid 2436 . . . . . . . . 9
54fnmpt 5571 . . . . . . . 8
63, 5mp1i 12 . . . . . . 7
7 seqof.3 . . . . . . . 8
87fneq1d 5536 . . . . . . 7
96, 8mpbird 224 . . . . . 6
10 fvex 5742 . . . . . . 7
11 fneq1 5534 . . . . . . 7
1210, 11elab 3082 . . . . . 6
139, 12sylibr 204 . . . . 5
14 simprl 733 . . . . . . . . 9
15 simprr 734 . . . . . . . . 9
16 seqof.1 . . . . . . . . . 10
1716adantr 452 . . . . . . . . 9
18 inidm 3550 . . . . . . . . 9
1914, 15, 17, 17, 18offn 6316 . . . . . . . 8
2019ex 424 . . . . . . 7
21 vex 2959 . . . . . . . . 9
22 fneq1 5534 . . . . . . . . 9
2321, 22elab 3082 . . . . . . . 8
24 vex 2959 . . . . . . . . 9
25 fneq1 5534 . . . . . . . . 9
2624, 25elab 3082 . . . . . . . 8
2723, 26anbi12i 679 . . . . . . 7
28 ovex 6106 . . . . . . . 8
29 fneq1 5534 . . . . . . . 8
3028, 29elab 3082 . . . . . . 7
3120, 27, 303imtr4g 262 . . . . . 6
3231imp 419 . . . . 5
331, 13, 32seqcl 11343 . . . 4
34 fvex 5742 . . . . 5
35 fneq1 5534 . . . . 5
3634, 35elab 3082 . . . 4
3733, 36sylib 189 . . 3
38 dffn5 5772 . . 3
3937, 38sylib 189 . 2
40 fveq1 5727 . . . . . 6
41 eqid 2436 . . . . . 6
42 fvex 5742 . . . . . 6
4340, 41, 42fvmpt 5806 . . . . 5
4434, 43mp1i 12 . . . 4
4532adantlr 696 . . . . 5
4613adantlr 696 . . . . 5
471adantr 452 . . . . 5
48 eqidd 2437 . . . . . . . . 9
49 eqidd 2437 . . . . . . . . 9
5014, 15, 17, 17, 18, 48, 49ofval 6314 . . . . . . . 8
5150an32s 780 . . . . . . 7
52 fveq1 5727 . . . . . . . . 9
53 fvex 5742 . . . . . . . . 9
5452, 41, 53fvmpt 5806 . . . . . . . 8
5528, 54ax-mp 8 . . . . . . 7
56 fveq1 5727 . . . . . . . . . 10
57 fvex 5742 . . . . . . . . . 10
5856, 41, 57fvmpt 5806 . . . . . . . . 9
5921, 58ax-mp 8 . . . . . . . 8
60 fveq1 5727 . . . . . . . . . 10
61 fvex 5742 . . . . . . . . . 10
6260, 41, 61fvmpt 5806 . . . . . . . . 9
6324, 62ax-mp 8 . . . . . . . 8
6459, 63oveq12i 6093 . . . . . . 7
6551, 55, 643eqtr4g 2493 . . . . . 6
6627, 65sylan2b 462 . . . . 5
67 fveq1 5727 . . . . . . . 8
68 fvex 5742 . . . . . . . 8
6967, 41, 68fvmpt 5806 . . . . . . 7
7010, 69ax-mp 8 . . . . . 6
717adantlr 696 . . . . . . . 8
7271fveq1d 5730 . . . . . . 7
73 simplr 732 . . . . . . . 8
744fvmpt2 5812 . . . . . . . 8
7573, 2, 74sylancl 644 . . . . . . 7
7672, 75eqtrd 2468 . . . . . 6
7770, 76syl5eq 2480 . . . . 5
7845, 46, 47, 66, 77seqhomo 11370 . . . 4
7944, 78eqtr3d 2470 . . 3
8079mpteq2dva 4295 . 2
8139, 80eqtrd 2468 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422  wral 2705  cvv 2956   cmpt 4266   wfn 5449  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303  cuz 10488  cfz 11043   cseq 11323 This theorem is referenced by:  seqof2  11381  mtest  20320  pserulm  20338 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324
 Copyright terms: Public domain W3C validator