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Theorem seqof2 11369
Description: Distribute function operation through a sequence. Maps-to notation version of seqof 11368. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
seqof2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
seqof2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqof2.3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  B )
seqof2.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  z  e.  A ) )  ->  X  e.  W )
Assertion
Ref Expression
seqof2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  o F  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( z  e.  A  |->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, A    x, M, z    x, N, z    ph, x, z   
z,  .+    x, B
Allowed substitution hints:    B( z)    .+ ( x)    V( x, z)    W( x, z)    X( x, z)

Proof of Theorem seqof2
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqof2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 seqof2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ x
( ph  /\  n  e.  ( M ... N
) )
4 nffvmpt1 5727 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )
5 nfcv 2571 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
6 nffvmpt1 5727 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  X ) `  n )
75, 6nfmpt 4289 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
84, 7nfeq 2578 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
93, 8nfim 1832 . . . . 5  |-  F/ x
( ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
10 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
1110anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) ) ) )
12 fveq2 5719 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n ) )
13 fveq2 5719 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
1413mpteq2dv 4288 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x
) )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 x )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) ) )
1611, 15imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 x )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) ) ) )
17 seqof2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  B )
1817sselda 3340 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  B )
191adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  V )
20 mptexg 5956 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
z  e.  A  |->  X )  e.  _V )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( z  e.  A  |->  X )  e.  _V )
22 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) )
2322fvmpt2 5803 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( z  e.  A  |->  X )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x )  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
2418, 21, 23syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x
)  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
2518adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  B )
26 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  ph )
27 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
28 seqof2.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  z  e.  A ) )  ->  X  e.  W )
2926, 25, 27, 28syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  X  e.  W )
30 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  X )  =  ( x  e.  B  |->  X )
3130fvmpt2 5803 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  X  e.  W )  ->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x )  =  X )
3225, 29, 31syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  x
)  =  X )
3332mpteq2dva 4287 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) )  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
3424, 33eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) ) )
359, 16, 34chvar 1968 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
36 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ y
( ( x  e.  B  |->  X ) `  n )
37 nfcsb1v 3275 . . . . . 6  |-  F/_ z [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X )
38 nfcv 2571 . . . . . 6  |-  F/_ z
n
3937, 38nffv 5726 . . . . 5  |-  F/_ z
( [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) `  n
)
40 csbeq1a 3251 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  B  |->  X )  =  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) )
4140fveq1d 5721 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  n
)  =  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
4236, 39, 41cbvmpt 4291 . . . 4  |-  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
4335, 42syl6eq 2483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
441, 2, 43seqof 11368 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  o F  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( y  e.  A  |->  (  seq  M ( 
.+  ,  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) ) `  N
) ) )
45 nfcv 2571 . . 3  |-  F/_ y
(  seq  M (  .+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `
 N )
46 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ z M
47 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ z  .+
4846, 47, 37nfseq 11321 . . . 4  |-  F/_ z  seq  M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) )
49 nfcv 2571 . . . 4  |-  F/_ z N
5048, 49nffv 5726 . . 3  |-  F/_ z
(  seq  M (  .+  ,  [_ y  / 
z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) ) `
 N )
5140seqeq3d 11319 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  seq  M (  .+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) )  =  seq  M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) ) )
5251fveq1d 5721 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  (  seq  M (  .+  , 
( x  e.  B  |->  X ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) )
5345, 50, 52cbvmpt 4291 . 2  |-  ( z  e.  A  |->  (  seq 
M (  .+  , 
( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) )  =  ( y  e.  A  |->  (  seq  M ( 
.+  ,  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) ) `  N
) )
5444, 53syl6eqr 2485 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  o F  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( z  e.  A  |->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   [_csb 3243    C_ wss 3312    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    o Fcof 6294   ZZ>=cuz 10477   ...cfz 11032    seq cseq 11311
This theorem is referenced by:  mtestbdd  20309  lgamgulm2  24808  lgamcvglem  24812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-seq 11312
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