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Theorem seqof2 11386
Description: Distribute function operation through a sequence. Maps-to notation version of seqof 11385. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
seqof2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
seqof2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqof2.3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  B )
seqof2.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  z  e.  A ) )  ->  X  e.  W )
Assertion
Ref Expression
seqof2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  o F  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( z  e.  A  |->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, A    x, M, z    x, N, z    ph, x, z   
z,  .+    x, B
Allowed substitution hints:    B( z)    .+ ( x)    V( x, z)    W( x, z)    X( x, z)

Proof of Theorem seqof2
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqof2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 seqof2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 nfv 1630 . . . . . 6  |-  F/ x
( ph  /\  n  e.  ( M ... N
) )
4 nffvmpt1 5739 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )
5 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
6 nffvmpt1 5739 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  X ) `  n )
75, 6nfmpt 4300 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
84, 7nfeq 2581 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
93, 8nfim 1833 . . . . 5  |-  F/ x
( ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
10 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
1110anbi2d 686 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) ) ) )
12 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n ) )
13 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
1413mpteq2dv 4299 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x
) )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 x )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) ) )
1611, 15imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 x )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) ) ) )
17 seqof2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  B )
1817sselda 3350 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  B )
191adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  V )
20 mptexg 5968 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
z  e.  A  |->  X )  e.  _V )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( z  e.  A  |->  X )  e.  _V )
22 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) )
2322fvmpt2 5815 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( z  e.  A  |->  X )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x )  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
2418, 21, 23syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x
)  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
2518adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  B )
26 simpll 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  ph )
27 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
28 seqof2.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  z  e.  A ) )  ->  X  e.  W )
2926, 25, 27, 28syl12anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  X  e.  W )
30 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  X )  =  ( x  e.  B  |->  X )
3130fvmpt2 5815 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  X  e.  W )  ->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x )  =  X )
3225, 29, 31syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  x
)  =  X )
3332mpteq2dva 4298 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) )  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
3424, 33eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) ) )
359, 16, 34chvar 1969 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
36 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ y
( ( x  e.  B  |->  X ) `  n )
37 nfcsb1v 3285 . . . . . 6  |-  F/_ z [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X )
38 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ z
n
3937, 38nffv 5738 . . . . 5  |-  F/_ z
( [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) `  n
)
40 csbeq1a 3261 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  B  |->  X )  =  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) )
4140fveq1d 5733 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  n
)  =  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
4236, 39, 41cbvmpt 4302 . . . 4  |-  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
4335, 42syl6eq 2486 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
441, 2, 43seqof 11385 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  o F  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( y  e.  A  |->  (  seq  M ( 
.+  ,  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) ) `  N
) ) )
45 nfcv 2574 . . 3  |-  F/_ y
(  seq  M (  .+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `
 N )
46 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ z M
47 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ z  .+
4846, 47, 37nfseq 11338 . . . 4  |-  F/_ z  seq  M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) )
49 nfcv 2574 . . . 4  |-  F/_ z N
5048, 49nffv 5738 . . 3  |-  F/_ z
(  seq  M (  .+  ,  [_ y  / 
z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) ) `
 N )
5140seqeq3d 11336 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  seq  M (  .+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) )  =  seq  M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) ) )
5251fveq1d 5733 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  (  seq  M (  .+  , 
( x  e.  B  |->  X ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) )
5345, 50, 52cbvmpt 4302 . 2  |-  ( z  e.  A  |->  (  seq 
M (  .+  , 
( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) )  =  ( y  e.  A  |->  (  seq  M ( 
.+  ,  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) ) `  N
) )
5444, 53syl6eqr 2488 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  o F  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( z  e.  A  |->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   [_csb 3253    C_ wss 3322    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Fcof 6306   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048    seq cseq 11328
This theorem is referenced by:  mtestbdd  20326  lgamgulm2  24825  lgamcvglem  24829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329
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