MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqomlem0 Unicode version

Theorem seqomlem0 6477
Description: Lemma for seq𝜔. Change bound variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
seqomlem0  |-  rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  =  rec ( ( c  e. 
om ,  d  e. 
_V  |->  <. suc  c , 
( c F d ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )
Distinct variable groups:    F, a,
b, c, d    I,
a, b, c, d

Proof of Theorem seqomlem0
StepHypRef Expression
1 suceq 4473 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  suc  a  =  suc  c )
2 oveq1 5881 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
a F b )  =  ( c F b ) )
31, 2opeq12d 3820 . . 3  |-  ( a  =  c  ->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.  =  <. suc  c ,  ( c F b ) >.
)
4 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( b  =  d  ->  (
c F b )  =  ( c F d ) )
54opeq2d 3819 . . 3  |-  ( b  =  d  ->  <. suc  c ,  ( c F b ) >.  =  <. suc  c ,  ( c F d ) >.
)
63, 5cbvmpt2v 5942 . 2  |-  ( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >. )  =  ( c  e. 
om ,  d  e. 
_V  |->  <. suc  c , 
( c F d ) >. )
7 rdgeq1 6440 . 2  |-  ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
)  =  ( c  e.  om ,  d  e.  _V  |->  <. suc  c ,  ( c F d ) >. )  ->  rec ( ( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
)  =  rec (
( c  e.  om ,  d  e.  _V  |->  <. suc  c ,  ( c F d )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) )
86, 7ax-mp 8 1  |-  rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  =  rec ( ( c  e. 
om ,  d  e. 
_V  |->  <. suc  c , 
( c F d ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   <.cop 3656    _I cid 4320   suc csuc 4410   omcom 4672   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   reccrdg 6438
This theorem is referenced by:  fnseqom  6483  seqom0g  6484  seqomsuc  6485
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-suc 4414  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439
  Copyright terms: Public domain W3C validator