MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqomlem3 Structured version   Unicode version

Theorem seqomlem3 6712
Description: Lemma for seq𝜔. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqomlem.a  |-  Q  =  rec ( ( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
)
Assertion
Ref Expression
seqomlem3  |-  ( ( Q " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I )
Distinct variable groups:    Q, i,
v    i, F, v
Allowed substitution hints:    I( v, i)

Proof of Theorem seqomlem3
StepHypRef Expression
1 peano1 4867 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
2 fvres 5748 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  =  ( Q `
 (/) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  =  ( Q `  (/) )
4 seqomlem.a . . . . . . 7  |-  Q  =  rec ( ( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
)
54fveq1i 5732 . . . . . 6  |-  ( Q `
 (/) )  =  ( rec ( ( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
) `  (/) )
6 opex 4430 . . . . . . 7  |-  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>.  e.  _V
76rdg0 6682 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( i  e. 
om ,  v  e. 
_V  |->  <. suc  i , 
( i F v ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) `  (/) )  =  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >.
83, 5, 73eqtri 2462 . . . . 5  |-  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  =  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >.
9 frfnom 6695 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( i  e. 
om ,  v  e. 
_V  |->  <. suc  i , 
( i F v ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )  |` 
om )  Fn  om
104reseq1i 5145 . . . . . . . 8  |-  ( Q  |`  om )  =  ( rec ( ( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
)  |`  om )
1110fneq1i 5542 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  |`  om )  Fn  om  <->  ( rec (
( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  |`  om )  Fn  om )
129, 11mpbir 202 . . . . . 6  |-  ( Q  |`  om )  Fn  om
13 fnfvelrn 5870 . . . . . 6  |-  ( ( ( Q  |`  om )  Fn  om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  e. 
ran  ( Q  |`  om ) )
1412, 1, 13mp2an 655 . . . . 5  |-  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  e.  ran  ( Q  |`  om )
158, 14eqeltrri 2509 . . . 4  |-  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>.  e.  ran  ( Q  |`  om )
16 df-ima 4894 . . . 4  |-  ( Q
" om )  =  ran  ( Q  |`  om )
1715, 16eleqtrri 2511 . . 3  |-  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>.  e.  ( Q " om )
18 df-br 4216 . . 3  |-  ( (/) ( Q " om )
(  _I  `  I
)  <->  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.  e.  ( Q " om ) )
1917, 18mpbir 202 . 2  |-  (/) ( Q
" om ) (  _I  `  I )
204seqomlem2 6711 . . 3  |-  ( Q
" om )  Fn 
om
21 fnbrfvb 5770 . . 3  |-  ( ( ( Q " om )  Fn  om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( ( Q " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I )  <->  (/) ( Q " om ) (  _I  `  I ) ) )
2220, 1, 21mp2an 655 . 2  |-  ( ( ( Q " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I
)  <->  (/) ( Q " om ) (  _I  `  I ) )
2319, 22mpbir 202 1  |-  ( ( Q " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   <.cop 3819   class class class wbr 4215    _I cid 4496   suc csuc 4586   omcom 4848   ran crn 4882    |` cres 4883   "cima 4884    Fn wfn 5452   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   reccrdg 6670
This theorem is referenced by:  seqom0g  6716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671
  Copyright terms: Public domain W3C validator