MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqomlem3 Unicode version

Theorem seqomlem3 6606
Description: Lemma for seq𝜔. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqomlem.a  |-  Q  =  rec ( ( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
)
Assertion
Ref Expression
seqomlem3  |-  ( ( Q " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I )
Distinct variable groups:    Q, i,
v    i, F, v
Allowed substitution hints:    I( v, i)

Proof of Theorem seqomlem3
StepHypRef Expression
1 peano1 4778 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
2 fvres 5649 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  =  ( Q `
 (/) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  =  ( Q `  (/) )
4 seqomlem.a . . . . . . 7  |-  Q  =  rec ( ( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
)
54fveq1i 5633 . . . . . 6  |-  ( Q `
 (/) )  =  ( rec ( ( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
) `  (/) )
6 opex 4340 . . . . . . 7  |-  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>.  e.  _V
76rdg0 6576 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( i  e. 
om ,  v  e. 
_V  |->  <. suc  i , 
( i F v ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) `  (/) )  =  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >.
83, 5, 73eqtri 2390 . . . . 5  |-  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  =  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >.
9 frfnom 6589 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( i  e. 
om ,  v  e. 
_V  |->  <. suc  i , 
( i F v ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )  |` 
om )  Fn  om
104reseq1i 5054 . . . . . . . 8  |-  ( Q  |`  om )  =  ( rec ( ( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
)  |`  om )
1110fneq1i 5443 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  |`  om )  Fn  om  <->  ( rec (
( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  |`  om )  Fn  om )
129, 11mpbir 200 . . . . . 6  |-  ( Q  |`  om )  Fn  om
13 fnfvelrn 5769 . . . . . 6  |-  ( ( ( Q  |`  om )  Fn  om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  e. 
ran  ( Q  |`  om ) )
1412, 1, 13mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  e.  ran  ( Q  |`  om )
158, 14eqeltrri 2437 . . . 4  |-  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>.  e.  ran  ( Q  |`  om )
16 df-ima 4805 . . . 4  |-  ( Q
" om )  =  ran  ( Q  |`  om )
1715, 16eleqtrri 2439 . . 3  |-  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>.  e.  ( Q " om )
18 df-br 4126 . . 3  |-  ( (/) ( Q " om )
(  _I  `  I
)  <->  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.  e.  ( Q " om ) )
1917, 18mpbir 200 . 2  |-  (/) ( Q
" om ) (  _I  `  I )
204seqomlem2 6605 . . 3  |-  ( Q
" om )  Fn 
om
21 fnbrfvb 5670 . . 3  |-  ( ( ( Q " om )  Fn  om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( ( Q " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I )  <->  (/) ( Q " om ) (  _I  `  I ) ) )
2220, 1, 21mp2an 653 . 2  |-  ( ( ( Q " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I
)  <->  (/) ( Q " om ) (  _I  `  I ) )
2319, 22mpbir 200 1  |-  ( ( Q " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1647    e. wcel 1715   _Vcvv 2873   (/)c0 3543   <.cop 3732   class class class wbr 4125    _I cid 4407   suc csuc 4497   omcom 4759   ran crn 4793    |` cres 4794   "cima 4795    Fn wfn 5353   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    e. cmpt2 5983   reccrdg 6564
This theorem is referenced by:  seqom0g  6610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-2nd 6250  df-recs 6530  df-rdg 6565
  Copyright terms: Public domain W3C validator