MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqomsuc Structured version   Unicode version

Theorem seqomsuc 6706
Description: Value of an index-aware recursive definition at a successor. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqom.a  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
Assertion
Ref Expression
seqomsuc  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  suc  A )  =  ( A F ( G `  A
) ) )

Proof of Theorem seqomsuc
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqomlem0 6698 . . 3  |-  rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  =  rec ( ( c  e. 
om ,  d  e. 
_V  |->  <. suc  c , 
( c F d ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )
21seqomlem4 6702 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  suc  A )  =  ( A F ( ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  A ) ) )
3 seqom.a . . . 4  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
4 df-seqom 6697 . . . 4  |- seq𝜔 ( F ,  I
)  =  ( rec ( ( a  e. 
om ,  b  e. 
_V  |->  <. suc  a , 
( a F b ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) " om )
53, 4eqtri 2455 . . 3  |-  G  =  ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om )
65fveq1i 5721 . 2  |-  ( G `
 suc  A )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
om ,  b  e. 
_V  |->  <. suc  a , 
( a F b ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) " om ) `  suc  A )
75fveq1i 5721 . . 3  |-  ( G `
 A )  =  ( ( rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  A )
87oveq2i 6084 . 2  |-  ( A F ( G `  A ) )  =  ( A F ( ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  A ) )
92, 6, 83eqtr4g 2492 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  suc  A )  =  ( A F ( G `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   <.cop 3809    _I cid 4485   suc csuc 4575   omcom 4837   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   reccrdg 6659  seq𝜔cseqom 6696
This theorem is referenced by:  cantnfvalf  7612  cantnfval2  7616  cantnfsuc  7617  cnfcomlem  7648  fseqenlem1  7897  fin23lem12  8203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-seqom 6697
  Copyright terms: Public domain W3C validator