MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqomsuc Unicode version

Theorem seqomsuc 6485
Description: Value of an index-aware recursive definition at a successor. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqom.a  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
Assertion
Ref Expression
seqomsuc  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  suc  A )  =  ( A F ( G `  A
) ) )

Proof of Theorem seqomsuc
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqomlem0 6477 . . 3  |-  rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  =  rec ( ( c  e. 
om ,  d  e. 
_V  |->  <. suc  c , 
( c F d ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )
21seqomlem4 6481 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  suc  A )  =  ( A F ( ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  A ) ) )
3 seqom.a . . . 4  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
4 df-seqom 6476 . . . 4  |- seq𝜔 ( F ,  I
)  =  ( rec ( ( a  e. 
om ,  b  e. 
_V  |->  <. suc  a , 
( a F b ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) " om )
53, 4eqtri 2316 . . 3  |-  G  =  ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om )
65fveq1i 5542 . 2  |-  ( G `
 suc  A )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
om ,  b  e. 
_V  |->  <. suc  a , 
( a F b ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) " om ) `  suc  A )
75fveq1i 5542 . . 3  |-  ( G `
 A )  =  ( ( rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  A )
87oveq2i 5885 . 2  |-  ( A F ( G `  A ) )  =  ( A F ( ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  A ) )
92, 6, 83eqtr4g 2353 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  suc  A )  =  ( A F ( G `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   <.cop 3656    _I cid 4320   suc csuc 4410   omcom 4672   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   reccrdg 6438  seq𝜔cseqom 6475
This theorem is referenced by:  cantnfvalf  7382  cantnfval2  7386  cantnfsuc  7387  cnfcomlem  7418  fseqenlem1  7667  fin23lem12  7973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476
  Copyright terms: Public domain W3C validator