MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqp1 Structured version   Unicode version

Theorem seqp1 11339
Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqp1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )

Proof of Theorem seqp1
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10494 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 fveq2 5729 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
32eleq2d 2504 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
4 seqeq1 11327 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  seq  M (  .+  ,  F )  =  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) )
54fveq1d 5731 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1
) )  =  (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( N  + 
1 ) ) )
64fveq1d 5731 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  N )  =  (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )
76oveq2d 6098 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  ( N ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
85, 7eqeq12d 2451 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  <-> 
(  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) ) )
93, 8imbi12d 313 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) ) ) )
10 0z 10294 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
1110elimel 3792 . . . . 5  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
12 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
13 fvex 5743 . . . . 5  |-  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
14 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
1514seqval 11335 . . . . 5  |-  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
1611, 12, 13, 14, 15uzrdgsuci 11301 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
179, 16dedth 3781 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )
) ) )
181, 17mpcom 35 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) ) )
19 elex 2965 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  _V )
20 fvex 5743 . . 3  |-  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  _V
21 oveq1 6089 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (
z  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2221fveq2d 5733 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  ( F `  ( z  +  1 ) )  =  ( F `  ( N  +  1
) ) )
2322oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( z  =  N  ->  (
w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) )  =  ( w  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
24 oveq1 6089 . . . 4  |-  ( w  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  ->  ( w  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
25 eqid 2437 . . . 4  |-  ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
26 ovex 6107 . . . 4  |-  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) )  e. 
_V
2723, 24, 25, 26ovmpt2 6210 . . 3  |-  ( ( N  e.  _V  /\  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  _V )  ->  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
2819, 20, 27sylancl 645 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N
( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
2918, 28eqtrd 2469 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957   ifcif 3740   <.cop 3818    e. cmpt 4267   omcom 4846    |` cres 4881   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084   reccrdg 6668   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489    seq cseq 11324
This theorem is referenced by:  seqp1i  11340  seqm1  11341  seqcl2  11342  seqfveq2  11346  seqshft2  11350  sermono  11356  seqsplit  11357  seqcaopr3  11359  seqf1olem2a  11362  seqf1olem2  11364  seqid2  11370  seqhomo  11371  ser1const  11380  expp1  11389  facp1  11572  seqcoll  11713  climserle  12457  iseraltlem2  12477  iseraltlem3  12478  climcndslem1  12630  climcndslem2  12631  ruclem7  12836  sadcp1  12968  smupp1  12993  seq1st  13063  algrp1  13066  eulerthlem2  13172  pcmpt  13262  mulgnnp1  14899  ovolunlem1a  19393  voliunlem1  19445  volsup  19451  dvnp1  19812  bposlem5  21073  gxnn0suc  21853  opsqrlem5  23648  esumfzf  24460  esumpcvgval  24469  rrvsum  24713  relexpsucr  25131  clim2prod  25217  prodfn0  25223  prodfrec  25224  ntrivcvgfvn0  25228  iprodefisumlem  25318  faclimlem1  25363  heiborlem4  26524  heiborlem6  26526  fmul01  27687  fmuldfeqlem1  27689  stoweidlem3  27729  wallispilem4  27794  wallispi2lem1  27797  wallispi2lem2  27798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-seq 11325
  Copyright terms: Public domain W3C validator