MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqp1 Unicode version

Theorem seqp1 11077
Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqp1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )

Proof of Theorem seqp1
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10251 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
32eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
4 seqeq1 11065 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  seq  M (  .+  ,  F )  =  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) )
54fveq1d 5543 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1
) )  =  (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( N  + 
1 ) ) )
64fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  N )  =  (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )
76oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  ( N ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
85, 7eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  <-> 
(  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) ) )
93, 8imbi12d 311 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) ) ) )
10 0z 10051 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
1110elimel 3630 . . . . 5  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
12 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
13 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
14 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
1514seqval 11073 . . . . 5  |-  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
1611, 12, 13, 14, 15uzrdgsuci 11039 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
179, 16dedth 3619 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )
) ) )
181, 17mpcom 32 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) ) )
19 elex 2809 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  _V )
20 fvex 5555 . . 3  |-  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  _V
21 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (
z  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2221fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  ( F `  ( z  +  1 ) )  =  ( F `  ( N  +  1
) ) )
2322oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( z  =  N  ->  (
w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) )  =  ( w  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
24 oveq1 5881 . . . 4  |-  ( w  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  ->  ( w  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
25 eqid 2296 . . . 4  |-  ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
26 ovex 5899 . . . 4  |-  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) )  e. 
_V
2723, 24, 25, 26ovmpt2 5999 . . 3  |-  ( ( N  e.  _V  /\  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  _V )  ->  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
2819, 20, 27sylancl 643 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N
( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
2918, 28eqtrd 2328 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   ifcif 3578   <.cop 3656    e. cmpt 4093   omcom 4672    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   reccrdg 6438   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246    seq cseq 11062
This theorem is referenced by:  seqp1i  11078  seqm1  11079  seqcl2  11080  seqfveq2  11084  seqshft2  11088  sermono  11094  seqsplit  11095  seqcaopr3  11097  seqf1olem2a  11100  seqf1olem2  11102  seqid2  11108  seqhomo  11109  ser1const  11118  expp1  11126  facp1  11309  seqcoll  11417  climserle  12152  iseraltlem2  12171  iseraltlem3  12172  climcndslem1  12324  climcndslem2  12325  ruclem7  12530  sadcp1  12662  smupp1  12687  seq1st  12757  algrp1  12760  eulerthlem2  12866  pcmpt  12956  mulgnnp1  14591  ovolunlem1a  18871  voliunlem1  18923  volsup  18929  dvnp1  19290  bposlem5  20543  gxnn0suc  20947  opsqrlem5  22740  esumpcvgval  23461  relexpsucr  24041  faclimlem3  24119  faclim  24126  fprodp1  25426  heiborlem4  26641  heiborlem6  26643  fmul01  27813  fmuldfeqlem1  27815  stoweidlem3  27855  wallispilem4  27920  wallispi2lem1  27923  wallispi2lem2  27924
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063
  Copyright terms: Public domain W3C validator