MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqp1i Structured version   Unicode version

Theorem seqp1i 11331
Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqp1i.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
seqp1i.2  |-  N  e.  Z
seqp1i.3  |-  K  =  ( N  +  1 )
seqp1i.4  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  A )
seqp1i.5  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  =  B )
Assertion
Ref Expression
seqp1i  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  ( A  .+  B
) )

Proof of Theorem seqp1i
StepHypRef Expression
1 seqp1i.3 . . . 4  |-  K  =  ( N  +  1 )
21fveq2i 5723 . . 3  |-  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  K
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )
3 seqp1i.2 . . . . 5  |-  N  e.  Z
4 seqp1i.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4eleqtri 2507 . . . 4  |-  N  e.  ( ZZ>= `  M )
6 seqp1 11330 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
75, 6ax-mp 8 . . 3  |-  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) )
82, 7eqtri 2455 . 2  |-  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  K
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) )
9 seqp1i.4 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  A )
101fveq2i 5723 . . . 4  |-  ( F `
 K )  =  ( F `  ( N  +  1 ) )
11 seqp1i.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  =  B )
1210, 11syl5eqr 2481 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  =  B )
139, 12oveq12d 6091 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( A  .+  B ) )
148, 13syl5eq 2479 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  ( A  .+  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1c1 8983    + caddc 8985   ZZ>=cuz 10480    seq cseq 11315
This theorem is referenced by:  climcndslem2  12622  ege2le3  12684  efgt1p2  12707  efgt1p  12708  ovolunlem1a  19384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-seq 11316
  Copyright terms: Public domain W3C validator