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Theorem seqpo 26457
Description: Two ways to say that a sequence respects a partial order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
seqpo  |-  ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  ->  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  <->  A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
) ) )
Distinct variable groups:    m, F, n, s    A, m, n, s    R, m, n, s

Proof of Theorem seqpo
Dummy variables  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( m  + 
1 )  ->  ( F `  p )  =  ( F `  ( m  +  1
) ) )
21breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 p )  <->  ( F `  m ) R ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
32imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 p ) )  <-> 
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
4 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  q  ->  ( F `  p )  =  ( F `  q ) )
54breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  q  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 p )  <->  ( F `  m ) R ( F `  q ) ) )
65imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 p ) )  <-> 
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 q ) ) ) )
7 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  ( F `  p )  =  ( F `  ( q  +  1 ) ) )
87breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 p )  <->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) )
98imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 p ) )  <-> 
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) ) )
10 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  n  ->  ( F `  p )  =  ( F `  n ) )
1110breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  n  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 p )  <->  ( F `  m ) R ( F `  n ) ) )
1211imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  n  ->  (
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 p ) )  <-> 
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 n ) ) ) )
13 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  m  ->  ( F `  s )  =  ( F `  m ) )
14 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  m  ->  (
s  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
1514fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  m  ->  ( F `  ( s  +  1 ) )  =  ( F `  ( m  +  1
) ) )
1613, 15breq12d 4036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  m  ->  (
( F `  s
) R ( F `
 ( s  +  1 ) )  <->  ( F `  m ) R ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
1716rspccva 2883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( m  +  1
) ) )
1817adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( m  +  1
) ) )
1918a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
20 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
21 elnnuz 10264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  <->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2220, 21sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
23 uztrn 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  q  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 elnnuz 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  e.  NN  <->  q  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2523, 24sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  q  e.  NN )
2625expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) )  ->  q  e.  NN ) )
2722, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  ->  q  e.  NN ) )
2827imdistani 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  -> 
( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )
29 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  q  ->  ( F `  s )  =  ( F `  q ) )
30 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  q  ->  (
s  +  1 )  =  ( q  +  1 ) )
3130fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  q  ->  ( F `  ( s  +  1 ) )  =  ( F `  ( q  +  1 ) ) )
3229, 31breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  q  ->  (
( F `  s
) R ( F `
 ( s  +  1 ) )  <->  ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) )
3332rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  q  e.  NN )  ->  ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) )
3433ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) )
3534ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN  /\  q  e.  NN )  ->  ( F `  q
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) )
36 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> A  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m
)  e.  A )
3736adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( F `  m )  e.  A
)
38 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> A  /\  q  e.  NN )  ->  ( F `  q
)  e.  A )
3938adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( F `  q )  e.  A
)
40 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q  +  1 )  e.  NN )
41 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( q  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A
)
4240, 41sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> A  /\  q  e.  NN )  ->  ( F `  (
q  +  1 ) )  e.  A )
4342adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A
)
4437, 39, 433jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( ( F `  m )  e.  A  /\  ( F `  q )  e.  A  /\  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A ) )
45 potr 4326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( F `  m )  e.  A  /\  ( F `  q
)  e.  A  /\  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A ) )  ->  ( ( ( F `  m ) R ( F `  q )  /\  ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) )
4645exp3acom23 1362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( F `  m )  e.  A  /\  ( F `  q
)  e.  A  /\  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A ) )  ->  ( ( F `
 q ) R ( F `  (
q  +  1 ) )  ->  ( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
4746ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( F `  m )  e.  A  /\  ( F `  q
)  e.  A  /\  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A )  -> 
( ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 m ) R ( F `  q
)  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) ) )
4844, 47syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Po  A  ->  (
( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 m ) R ( F `  q
)  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) ) )
4948expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  ->  ( ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN )  ->  (
( F `  q
) R ( F `
 ( q  +  1 ) )  -> 
( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) ) )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 m ) R ( F `  q
)  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) ) )
5135, 50mpdd 36 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
5228, 51syl5 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN  /\  q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
5352expdimp 426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( q  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) )  -> 
( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
5453anasss 628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 q )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) ) )
5554com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) )  ->  ( (
( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 q )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) ) )
5655a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) )  ->  ( (
( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 q ) )  ->  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
573, 6, 9, 12, 19, 56uzind4 10276 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) )  ->  ( (
( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  ( F `  m ) R ( F `  n ) ) )
5857com12 27 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  ->  ( F `  m ) R ( F `  n ) ) )
5958ralrimiv 2625 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( F `  m
) R ( F `
 n ) )
6059anassrs 629 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( F `  m ) R ( F `  n ) )
6160ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( F `  m
) R ( F `
 n ) )
6261ex 423 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  ->  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  ->  A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
) ) )
63 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  s  ->  (
m  +  1 )  =  ( s  +  1 ) )
6463fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( m  =  s  ->  ( ZZ>=
`  ( m  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) )
65 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  s  ->  ( F `  m )  =  ( F `  s ) )
6665breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( m  =  s  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 n )  <->  ( F `  s ) R ( F `  n ) ) )
6764, 66raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( m  =  s  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  ( m  + 
1 ) ) ( F `  m ) R ( F `  n )  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `  s
) R ( F `
 n ) ) )
6867rspcv 2880 . . . . 5  |-  ( s  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
)  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `  s
) R ( F `
 n ) ) )
6968imdistanri 672 . . . 4  |-  ( ( A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
)  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `
 s ) R ( F `  n
)  /\  s  e.  NN ) )
70 peano2nn 9758 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  NN )
7170nnzd 10116 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  ZZ )
72 uzid 10242 . . . . . 6  |-  ( ( s  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
s  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
s  +  1 ) ) )
7371, 72syl 15 . . . . 5  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
s  +  1 ) ) )
74 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( s  +  1 ) ) )
7574breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  (
( F `  s
) R ( F `
 n )  <->  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) ) )
7675rspccva 2883 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  (
ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `  s ) R ( F `  n )  /\  (
s  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
s  +  1 ) ) )  ->  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )
7773, 76sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  (
ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `  s ) R ( F `  n )  /\  s  e.  NN )  ->  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )
7869, 77syl 15 . . 3  |-  ( ( A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
)  /\  s  e.  NN )  ->  ( F `
 s ) R ( F `  (
s  +  1 ) ) )
7978ralrimiva 2626 . 2  |-  ( A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( F `  m
) R ( F `
 n )  ->  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )
8062, 79impbid1 194 1  |-  ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  ->  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  <->  A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023    Po wpo 4312   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  incsequz2  26459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231
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