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Theorem seqpo 26144
Description: Two ways to say that a sequence respects a partial order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
seqpo  |-  ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  ->  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  <->  A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
) ) )
Distinct variable groups:    m, F, n, s    A, m, n, s    R, m, n, s

Proof of Theorem seqpo
Dummy variables  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( m  + 
1 )  ->  ( F `  p )  =  ( F `  ( m  +  1
) ) )
21breq2d 4167 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 p )  <->  ( F `  m ) R ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
32imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 p ) )  <-> 
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
4 fveq2 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  q  ->  ( F `  p )  =  ( F `  q ) )
54breq2d 4167 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  q  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 p )  <->  ( F `  m ) R ( F `  q ) ) )
65imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 p ) )  <-> 
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 q ) ) ) )
7 fveq2 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  ( F `  p )  =  ( F `  ( q  +  1 ) ) )
87breq2d 4167 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 p )  <->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) )
98imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 p ) )  <-> 
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) ) )
10 fveq2 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  n  ->  ( F `  p )  =  ( F `  n ) )
1110breq2d 4167 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  n  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 p )  <->  ( F `  m ) R ( F `  n ) ) )
1211imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  n  ->  (
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 p ) )  <-> 
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 n ) ) ) )
13 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  m  ->  ( F `  s )  =  ( F `  m ) )
14 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  m  ->  (
s  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
1514fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  m  ->  ( F `  ( s  +  1 ) )  =  ( F `  ( m  +  1
) ) )
1613, 15breq12d 4168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  m  ->  (
( F `  s
) R ( F `
 ( s  +  1 ) )  <->  ( F `  m ) R ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
1716rspccva 2996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( m  +  1
) ) )
1817adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( m  +  1
) ) )
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
20 peano2nn 9946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
21 elnnuz 10456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  <->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2220, 21sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
23 uztrn 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  q  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 elnnuz 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  e.  NN  <->  q  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2523, 24sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  q  e.  NN )
2625expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) )  ->  q  e.  NN ) )
2722, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  ->  q  e.  NN ) )
2827imdistani 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  -> 
( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )
29 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  q  ->  ( F `  s )  =  ( F `  q ) )
30 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  q  ->  (
s  +  1 )  =  ( q  +  1 ) )
3130fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  q  ->  ( F `  ( s  +  1 ) )  =  ( F `  ( q  +  1 ) ) )
3229, 31breq12d 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  q  ->  (
( F `  s
) R ( F `
 ( s  +  1 ) )  <->  ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) )
3332rspccva 2996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  q  e.  NN )  ->  ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) )
3433ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) )
3534ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN  /\  q  e.  NN )  ->  ( F `  q
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) )
36 ffvelrn 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> A  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m
)  e.  A )
3736adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( F `  m )  e.  A
)
38 ffvelrn 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> A  /\  q  e.  NN )  ->  ( F `  q
)  e.  A )
3938adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( F `  q )  e.  A
)
40 peano2nn 9946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q  +  1 )  e.  NN )
41 ffvelrn 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( q  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A
)
4240, 41sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> A  /\  q  e.  NN )  ->  ( F `  (
q  +  1 ) )  e.  A )
4342adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A
)
4437, 39, 433jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( ( F `  m )  e.  A  /\  ( F `  q )  e.  A  /\  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A ) )
45 potr 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( F `  m )  e.  A  /\  ( F `  q
)  e.  A  /\  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A ) )  ->  ( ( ( F `  m ) R ( F `  q )  /\  ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) )
4645exp3acom23 1378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( F `  m )  e.  A  /\  ( F `  q
)  e.  A  /\  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A ) )  ->  ( ( F `
 q ) R ( F `  (
q  +  1 ) )  ->  ( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
4746ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( F `  m )  e.  A  /\  ( F `  q
)  e.  A  /\  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A )  -> 
( ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 m ) R ( F `  q
)  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) ) )
4844, 47syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Po  A  ->  (
( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 m ) R ( F `  q
)  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) ) )
4948expdimp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  ->  ( ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN )  ->  (
( F `  q
) R ( F `
 ( q  +  1 ) )  -> 
( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) ) )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 m ) R ( F `  q
)  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) ) )
5135, 50mpdd 38 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
5228, 51syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN  /\  q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
5352expdimp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( q  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) )  -> 
( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
5453anasss 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 q )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) ) )
5554com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) )  ->  ( (
( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 q )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) ) )
5655a2d 24 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) )  ->  ( (
( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 q ) )  ->  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
573, 6, 9, 12, 19, 56uzind4 10468 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) )  ->  ( (
( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  ( F `  m ) R ( F `  n ) ) )
5857com12 29 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  ->  ( F `  m ) R ( F `  n ) ) )
5958ralrimiv 2733 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( F `  m
) R ( F `
 n ) )
6059anassrs 630 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( F `  m ) R ( F `  n ) )
6160ralrimiva 2734 . . 3  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( F `  m
) R ( F `
 n ) )
6261ex 424 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  ->  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  ->  A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
) ) )
63 oveq1 6029 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  s  ->  (
m  +  1 )  =  ( s  +  1 ) )
6463fveq2d 5674 . . . . . . 7  |-  ( m  =  s  ->  ( ZZ>=
`  ( m  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) )
65 fveq2 5670 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  s  ->  ( F `  m )  =  ( F `  s ) )
6665breq1d 4165 . . . . . . 7  |-  ( m  =  s  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 n )  <->  ( F `  s ) R ( F `  n ) ) )
6764, 66raleqbidv 2861 . . . . . 6  |-  ( m  =  s  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  ( m  + 
1 ) ) ( F `  m ) R ( F `  n )  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `  s
) R ( F `
 n ) ) )
6867rspcv 2993 . . . . 5  |-  ( s  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
)  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `  s
) R ( F `
 n ) ) )
6968imdistanri 673 . . . 4  |-  ( ( A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
)  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `
 s ) R ( F `  n
)  /\  s  e.  NN ) )
70 peano2nn 9946 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  NN )
7170nnzd 10308 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  ZZ )
72 uzid 10434 . . . . . 6  |-  ( ( s  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
s  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
s  +  1 ) ) )
7371, 72syl 16 . . . . 5  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
s  +  1 ) ) )
74 fveq2 5670 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( s  +  1 ) ) )
7574breq2d 4167 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  (
( F `  s
) R ( F `
 n )  <->  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) ) )
7675rspccva 2996 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  (
ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `  s ) R ( F `  n )  /\  (
s  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
s  +  1 ) ) )  ->  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )
7773, 76sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  (
ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `  s ) R ( F `  n )  /\  s  e.  NN )  ->  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )
7869, 77syl 16 . . 3  |-  ( ( A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
)  /\  s  e.  NN )  ->  ( F `
 s ) R ( F `  (
s  +  1 ) ) )
7978ralrimiva 2734 . 2  |-  ( A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( F `  m
) R ( F `
 n )  ->  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )
8062, 79impbid1 195 1  |-  ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  ->  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  <->  A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   class class class wbr 4155    Po wpo 4444   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   1c1 8926    + caddc 8928   NNcn 9934   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422
This theorem is referenced by:  incsequz2  26146
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423
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