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Theorem seqshft 11900
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqshft.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
seqshft  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N ) )

Proof of Theorem seqshft
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfn 11335 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq  M (  .+  ,  ( F  shift  N )
)  Fn  ( ZZ>= `  M ) )
21adantr 452 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
3 zsubcl 10319 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
4 seqfn 11335 . . . . 5  |-  ( ( M  -  N )  e.  ZZ  ->  seq  ( M  -  N
) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) ) )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) ) )
6 zcn 10287 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
76adantl 453 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
8 seqex 11325 . . . . 5  |-  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  e.  _V
98shftfn 11888 . . . 4  |-  ( (  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) )  /\  N  e.  CC )  ->  (  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  {
x  e.  CC  | 
( x  -  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) } )
105, 7, 9syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  {
x  e.  CC  | 
( x  -  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) } )
11 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 shftuz 11884 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  -  N
)  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  (
( M  -  N
)  +  N ) ) )
1311, 3, 12syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  (
( M  -  N
)  +  N ) ) )
14 zcn 10287 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
15 npcan 9314 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  -  N )  +  N
)  =  M )
1614, 6, 15syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  N )  +  N
)  =  M )
1716fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  ( ( M  -  N )  +  N ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
1813, 17eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  M
) )
1918fneq2d 5537 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( (  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N )  Fn 
{ x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  <-> 
(  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N )  Fn  ( ZZ>= `  M
) ) )
2010, 19mpbid 202 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
21 negsub 9349 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2214, 6, 21syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2322adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2423seqeq1d 11329 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  seq  ( M  +  -u N ) ( 
.+  ,  F )  =  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) )
25 eluzelz 10496 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  ZZ )
2625zcnd 10376 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  CC )
27 negsub 9349 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( z  +  -u N )  =  ( z  -  N ) )
2826, 7, 27syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( z  + 
-u N )  =  ( z  -  N
) )
2924, 28fveq12d 5734 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq  ( M  +  -u N ) (  .+  ,  F
) `  ( z  +  -u N ) )  =  (  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
) `  ( z  -  N ) ) )
30 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )
31 znegcl 10313 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
3231ad2antlr 708 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
33 elfzelz 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( M ... z )  ->  y  e.  ZZ )
3433zcnd 10376 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M ... z )  ->  y  e.  CC )
35 seqshft.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  e. 
_V
3635shftval 11889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  -  N
) ) )
37 negsub 9349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( y  +  -u N )  =  ( y  -  N ) )
3837ancoms 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( y  +  -u N )  =  ( y  -  N ) )
3938fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
y  +  -u N
) )  =  ( F `  ( y  -  N ) ) )
4036, 39eqtr4d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
416, 34, 40syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  ( M ... z ) )  -> 
( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4241ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  A. y  e.  ( M ... z
) ( ( F 
shift  N ) `  y
)  =  ( F `
 ( y  + 
-u N ) ) )
4342ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  A. y  e.  ( M ... z ) ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4443r19.21bi 2804 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  y  e.  ( M ... z ) )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4530, 32, 44seqshft2 11349 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  ( F  shift  N ) ) `
 z )  =  (  seq  ( M  +  -u N ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( z  + 
-u N ) ) )
46 uzssz 10505 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
47 zsscn 10290 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  CC
4846, 47sstri 3357 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
4948sseli 3344 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  CC )
508shftval 11889 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( (  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N ) `  z )  =  (  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F ) `  (
z  -  N ) ) )
517, 49, 50syl2an 464 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( (  seq  ( M  -  N
) (  .+  ,  F )  shift  N ) `
 z )  =  (  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( z  -  N ) ) )
5229, 45, 513eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  ( F  shift  N ) ) `
 z )  =  ( (  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N ) `  z ) )
532, 20, 52eqfnfvd 5830 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2956    Fn wfn 5449   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988    + caddc 8993    - cmin 9291   -ucneg 9292   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043    seq cseq 11323    shift cshi 11881
This theorem is referenced by:  isershft  12457  cvgrat  12660  eftlub  12710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324  df-shft 11882
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