Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqshft Unicode version

Theorem seqshft 11627
 Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqshft.1
Assertion
Ref Expression
seqshft

Proof of Theorem seqshft
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfn 11105 . . 3
21adantr 451 . 2
3 zsubcl 10108 . . . . 5
4 seqfn 11105 . . . . 5
53, 4syl 15 . . . 4
6 zcn 10076 . . . . 5
76adantl 452 . . . 4
8 seqex 11095 . . . . 5
98shftfn 11615 . . . 4
105, 7, 9syl2anc 642 . . 3
11 simpr 447 . . . . . 6
12 shftuz 11611 . . . . . 6
1311, 3, 12syl2anc 642 . . . . 5
14 zcn 10076 . . . . . . 7
15 npcan 9105 . . . . . . 7
1614, 6, 15syl2an 463 . . . . . 6
1716fveq2d 5567 . . . . 5
1813, 17eqtrd 2348 . . . 4
1918fneq2d 5373 . . 3
2010, 19mpbid 201 . 2
21 negsub 9140 . . . . . . 7
2214, 6, 21syl2an 463 . . . . . 6
2322adantr 451 . . . . 5
2423seqeq1d 11099 . . . 4
25 eluzelz 10285 . . . . . 6
2625zcnd 10165 . . . . 5
27 negsub 9140 . . . . 5
2826, 7, 27syl2anr 464 . . . 4
2924, 28fveq12d 5569 . . 3
30 simpr 447 . . . 4
31 znegcl 10102 . . . . 5
3231ad2antlr 707 . . . 4
33 elfzelz 10845 . . . . . . . . 9
3433zcnd 10165 . . . . . . . 8
35 seqshft.1 . . . . . . . . . 10
3635shftval 11616 . . . . . . . . 9
37 negsub 9140 . . . . . . . . . . 11
3837ancoms 439 . . . . . . . . . 10
3938fveq2d 5567 . . . . . . . . 9
4036, 39eqtr4d 2351 . . . . . . . 8
416, 34, 40syl2an 463 . . . . . . 7
4241ralrimiva 2660 . . . . . 6
4342ad2antlr 707 . . . . 5
4443r19.21bi 2675 . . . 4
4530, 32, 44seqshft2 11119 . . 3
46 uzssz 10294 . . . . . 6
47 zsscn 10079 . . . . . 6
4846, 47sstri 3222 . . . . 5
4948sseli 3210 . . . 4
508shftval 11616 . . . 4
517, 49, 50syl2an 463 . . 3
5229, 45, 513eqtr4d 2358 . 2
532, 20, 52eqfnfvd 5663 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1633   wcel 1701  wral 2577  crab 2581  cvv 2822   wfn 5287  cfv 5292  (class class class)co 5900  cc 8780   caddc 8785   cmin 9082  cneg 9083  cz 10071  cuz 10277  cfz 10829   cseq 11093   cshi 11608 This theorem is referenced by:  isershft  12184  cvgrat  12386  eftlub  12436 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-seq 11094  df-shft 11609
 Copyright terms: Public domain W3C validator