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Theorem seqshft 11580
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqshft.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
seqshft  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N ) )

Proof of Theorem seqshft
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfn 11058 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq  M (  .+  ,  ( F  shift  N )
)  Fn  ( ZZ>= `  M ) )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
3 zsubcl 10061 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
4 seqfn 11058 . . . . 5  |-  ( ( M  -  N )  e.  ZZ  ->  seq  ( M  -  N
) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) ) )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) ) )
6 zcn 10029 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
76adantl 452 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
8 seqex 11048 . . . . 5  |-  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  e.  _V
98shftfn 11568 . . . 4  |-  ( (  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) )  /\  N  e.  CC )  ->  (  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  {
x  e.  CC  | 
( x  -  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) } )
105, 7, 9syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  {
x  e.  CC  | 
( x  -  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) } )
11 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 shftuz 11564 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  -  N
)  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  (
( M  -  N
)  +  N ) ) )
1311, 3, 12syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  (
( M  -  N
)  +  N ) ) )
14 zcn 10029 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
15 npcan 9060 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  -  N )  +  N
)  =  M )
1614, 6, 15syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  N )  +  N
)  =  M )
1716fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  ( ( M  -  N )  +  N ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
1813, 17eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  M
) )
1918fneq2d 5336 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( (  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N )  Fn 
{ x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  <-> 
(  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N )  Fn  ( ZZ>= `  M
) ) )
2010, 19mpbid 201 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
21 negsub 9095 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2214, 6, 21syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2322adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2423seqeq1d 11052 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  seq  ( M  +  -u N ) ( 
.+  ,  F )  =  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) )
25 eluzelz 10238 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  ZZ )
2625zcnd 10118 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  CC )
27 negsub 9095 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( z  +  -u N )  =  ( z  -  N ) )
2826, 7, 27syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( z  + 
-u N )  =  ( z  -  N
) )
2924, 28fveq12d 5531 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq  ( M  +  -u N ) (  .+  ,  F
) `  ( z  +  -u N ) )  =  (  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
) `  ( z  -  N ) ) )
30 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )
31 znegcl 10055 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
3231ad2antlr 707 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
33 elfzelz 10798 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( M ... z )  ->  y  e.  ZZ )
3433zcnd 10118 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M ... z )  ->  y  e.  CC )
35 seqshft.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  e. 
_V
3635shftval 11569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  -  N
) ) )
37 negsub 9095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( y  +  -u N )  =  ( y  -  N ) )
3837ancoms 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( y  +  -u N )  =  ( y  -  N ) )
3938fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
y  +  -u N
) )  =  ( F `  ( y  -  N ) ) )
4036, 39eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
416, 34, 40syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  ( M ... z ) )  -> 
( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4241ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  A. y  e.  ( M ... z
) ( ( F 
shift  N ) `  y
)  =  ( F `
 ( y  + 
-u N ) ) )
4342ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  A. y  e.  ( M ... z ) ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4443r19.21bi 2641 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  y  e.  ( M ... z ) )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4530, 32, 44seqshft2 11072 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  ( F  shift  N ) ) `
 z )  =  (  seq  ( M  +  -u N ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( z  + 
-u N ) ) )
46 uzssz 10247 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
47 zsscn 10032 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  CC
4846, 47sstri 3188 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
4948sseli 3176 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  CC )
508shftval 11569 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( (  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N ) `  z )  =  (  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F ) `  (
z  -  N ) ) )
517, 49, 50syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( (  seq  ( M  -  N
) (  .+  ,  F )  shift  N ) `
 z )  =  (  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( z  -  N ) ) )
5229, 45, 513eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  ( F  shift  N ) ) `
 z )  =  ( (  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N ) `  z ) )
532, 20, 52eqfnfvd 5625 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    - cmin 9037   -ucneg 9038   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046    shift cshi 11561
This theorem is referenced by:  isershft  12137  cvgrat  12339  eftlub  12389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-shft 11562
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