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Theorem seqshft 11627
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqshft.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
seqshft  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N ) )

Proof of Theorem seqshft
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfn 11105 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq  M (  .+  ,  ( F  shift  N )
)  Fn  ( ZZ>= `  M ) )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
3 zsubcl 10108 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
4 seqfn 11105 . . . . 5  |-  ( ( M  -  N )  e.  ZZ  ->  seq  ( M  -  N
) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) ) )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) ) )
6 zcn 10076 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
76adantl 452 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
8 seqex 11095 . . . . 5  |-  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  e.  _V
98shftfn 11615 . . . 4  |-  ( (  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) )  /\  N  e.  CC )  ->  (  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  {
x  e.  CC  | 
( x  -  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) } )
105, 7, 9syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  {
x  e.  CC  | 
( x  -  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) } )
11 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 shftuz 11611 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  -  N
)  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  (
( M  -  N
)  +  N ) ) )
1311, 3, 12syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  (
( M  -  N
)  +  N ) ) )
14 zcn 10076 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
15 npcan 9105 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  -  N )  +  N
)  =  M )
1614, 6, 15syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  N )  +  N
)  =  M )
1716fveq2d 5567 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  ( ( M  -  N )  +  N ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
1813, 17eqtrd 2348 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  M
) )
1918fneq2d 5373 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( (  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N )  Fn 
{ x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  <-> 
(  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N )  Fn  ( ZZ>= `  M
) ) )
2010, 19mpbid 201 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
21 negsub 9140 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2214, 6, 21syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2322adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2423seqeq1d 11099 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  seq  ( M  +  -u N ) ( 
.+  ,  F )  =  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) )
25 eluzelz 10285 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  ZZ )
2625zcnd 10165 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  CC )
27 negsub 9140 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( z  +  -u N )  =  ( z  -  N ) )
2826, 7, 27syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( z  + 
-u N )  =  ( z  -  N
) )
2924, 28fveq12d 5569 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq  ( M  +  -u N ) (  .+  ,  F
) `  ( z  +  -u N ) )  =  (  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
) `  ( z  -  N ) ) )
30 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )
31 znegcl 10102 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
3231ad2antlr 707 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
33 elfzelz 10845 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( M ... z )  ->  y  e.  ZZ )
3433zcnd 10165 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M ... z )  ->  y  e.  CC )
35 seqshft.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  e. 
_V
3635shftval 11616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  -  N
) ) )
37 negsub 9140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( y  +  -u N )  =  ( y  -  N ) )
3837ancoms 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( y  +  -u N )  =  ( y  -  N ) )
3938fveq2d 5567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
y  +  -u N
) )  =  ( F `  ( y  -  N ) ) )
4036, 39eqtr4d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
416, 34, 40syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  ( M ... z ) )  -> 
( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4241ralrimiva 2660 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  A. y  e.  ( M ... z
) ( ( F 
shift  N ) `  y
)  =  ( F `
 ( y  + 
-u N ) ) )
4342ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  A. y  e.  ( M ... z ) ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4443r19.21bi 2675 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  y  e.  ( M ... z ) )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4530, 32, 44seqshft2 11119 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  ( F  shift  N ) ) `
 z )  =  (  seq  ( M  +  -u N ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( z  + 
-u N ) ) )
46 uzssz 10294 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
47 zsscn 10079 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  CC
4846, 47sstri 3222 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
4948sseli 3210 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  CC )
508shftval 11616 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( (  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N ) `  z )  =  (  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F ) `  (
z  -  N ) ) )
517, 49, 50syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( (  seq  ( M  -  N
) (  .+  ,  F )  shift  N ) `
 z )  =  (  seq  ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( z  -  N ) ) )
5229, 45, 513eqtr4d 2358 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  ( F  shift  N ) ) `
 z )  =  ( (  seq  ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N ) `  z ) )
532, 20, 52eqfnfvd 5663 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq  ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   {crab 2581   _Vcvv 2822    Fn wfn 5287   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780    + caddc 8785    - cmin 9082   -ucneg 9083   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277   ...cfz 10829    seq cseq 11093    shift cshi 11608
This theorem is referenced by:  isershft  12184  cvgrat  12386  eftlub  12436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-seq 11094  df-shft 11609
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