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Theorem seqshft2 11349
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqshft2.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqshft2.2  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
seqshft2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K ) ) )
Assertion
Ref Expression
seqshft2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  +  K ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, K    k, M    ph, k    k, N
Allowed substitution hint:    .+ ( k)

Proof of Theorem seqshft2
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqshft2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11065 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  M
) )
6 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
x  +  K )  =  ( M  +  K ) )
76fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  ( M  +  K )
) )
85, 7eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  x )  =  (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( M  +  K ) ) ) )
94, 8imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( x  +  K ) ) )  <-> 
( M  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( M  +  K ) ) ) ) )
109imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( M  +  K ) ) ) ) ) )
11 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
12 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) )
13 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
x  +  K )  =  ( n  +  K ) )
1413fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) )
1512, 14eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  x )  =  (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  +  K ) ) ) )
1611, 15imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( x  +  K ) ) )  <-> 
( n  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  +  K ) ) ) ) )
1716imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  +  K ) ) ) ) ) )
18 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
19 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
20 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  +  K )  =  ( ( n  +  1 )  +  K ) )
2120fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) )
2219, 21eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  x )  =  (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) )
2318, 22imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( x  +  K ) ) )  <-> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) ) )
2423imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
26 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) )
27 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
x  +  K )  =  ( N  +  K ) )
2827fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  ( N  +  K )
) )
2926, 28eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  x )  =  (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  +  K ) ) ) )
3025, 29imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( x  +  K ) ) )  <-> 
( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  +  K ) ) ) ) )
3130imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  +  K ) ) ) ) ) )
32 eluzfz1 11064 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
34 seqshft2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K ) ) )
3534ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  K ) ) )
36 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
37 oveq1 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  M  ->  (
k  +  K )  =  ( M  +  K ) )
3837fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  ( G `  ( k  +  K ) )  =  ( G `  ( M  +  K )
) )
3936, 38eqeq12d 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  K ) )  <->  ( F `  M )  =  ( G `  ( M  +  K ) ) ) )
4039rspcv 3048 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K
) )  ->  ( F `  M )  =  ( G `  ( M  +  K
) ) ) )
4133, 35, 40sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( G `
 ( M  +  K ) ) )
42 eluzel2 10493 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
431, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
44 seq1 11336 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
46 seqshft2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
4743, 46zaddcld 10379 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
48 seq1 11336 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  +  K )  e.  ZZ  ->  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  ( M  +  K )
)  =  ( G `
 ( M  +  K ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( M  +  K ) )  =  ( G `  ( M  +  K )
) )
5041, 45, 493eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( M  +  K ) ) )
5150a1d 23 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( M  +  K ) ) ) )
5251a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( M  +  K ) ) ) ) )
53 peano2fzr 11069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5453adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5554expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
5655imim1d 71 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  =  (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  =  (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) ) ) )
57 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
58 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
59 seqp1 11338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6146adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
62 eluzadd 10514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
n  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
6358, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
64 seqp1 11338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  K
)  +  1 ) )  =  ( (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( G `
 ( ( n  +  K )  +  1 ) ) ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  K
)  +  1 ) )  =  ( (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( G `
 ( ( n  +  K )  +  1 ) ) ) )
66 eluzelz 10496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
6758, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
68 zcn 10287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
69 zcn 10287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
70 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
71 add32 9280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( n  +  1 )  +  K )  =  ( ( n  +  K )  +  1 ) )
7270, 71mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  +  K
)  =  ( ( n  +  K )  +  1 ) )
7368, 69, 72syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( n  + 
1 )  +  K
)  =  ( ( n  +  K )  +  1 ) )
7467, 61, 73syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  +  K )  =  ( ( n  +  K )  +  1 ) )
7574fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) )  =  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  K
)  +  1 ) ) )
76 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
7735adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K ) ) )
78 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
79 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  +  K )  =  ( ( n  +  1 )  +  K ) )
8079fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  ( k  +  K ) )  =  ( G `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) )
8178, 80eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  K ) )  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  +  1 )  +  K ) ) ) )
8281rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K
) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  + 
1 )  +  K
) ) ) )
8376, 77, 82sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  +  1 )  +  K ) ) )
8474fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( G `  ( ( n  + 
1 )  +  K
) )  =  ( G `  ( ( n  +  K )  +  1 ) ) )
8583, 84eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  +  K )  +  1 ) ) )
8685oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( G `
 ( ( n  +  K )  +  1 ) ) ) )
8765, 75, 863eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) )  =  ( (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
8860, 87eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) )  <->  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
8957, 88syl5ibr 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq  ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) )
9089expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  =  (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) ) )
9190a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  =  (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) ) ) )
9256, 91syld 42 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  =  (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  (  seq  ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) ) ) )
9392expcom 425 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  +  K ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) ) ) )
9493a2d 24 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  +  K ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq  ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) ) ) )
9510, 17, 24, 31, 52, 94uzind4 10534 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  +  K ) ) ) ) )
961, 95mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  +  K ) ) ) )
973, 96mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq  ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  +  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   1c1 8991    + caddc 8993   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043    seq cseq 11323
This theorem is referenced by:  seqf1olem2  11363  seqshft  11900  isercoll2  12462  gsumccat  14787  mulgnndir  14912  fprodser  25275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324
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