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Theorem seqsplit 11319
Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqsplit.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqsplit.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqsplit.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
seqsplit.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
seqsplit.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
seqsplit  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 N ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, K, y, z    x, M, y, z    ph, x, y, z   
x, N, y, z   
x,  .+ , y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem seqsplit
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqsplit.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
2 eluzfz2 11029 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
5 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
6 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
76oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) )
85, 7eqeq12d 2426 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
94, 8imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
109imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
11 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
12 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  n
) )
13 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )
1413oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2426 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )
1611, 15imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
1716imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) ) )
18 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
19 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
20 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2120oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2426 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2318, 22imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
26 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  N
) )
27 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) )
2827oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
2926, 28eqeq12d 2426 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
3025, 29imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
3130imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) ) )
32 seqsplit.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
33 seqp1 11301 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
35 eluzel2 10457 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
36 seq1 11299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( F `
 ( M  + 
1 ) ) )
371, 35, 363syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( F `  ( M  +  1 ) ) )
3837oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3934, 38eqtr4d 2447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) ) ) )
4039a1d 23 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
42 peano2fzr 11033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4342adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
4443expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
4544imim1d 71 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
46 oveq1 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
47 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
48 peano2uz 10494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
4932, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
51 uztrn 10466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5247, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
53 seqp1 11301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
55 seqp1 11301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5647, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5756oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
58 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ph )
59 eluzelz 10460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
6032, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
61 peano2uzr 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6260, 1, 61syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
63 fzss2 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... M )  C_  ( K ... N ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ... M
)  C_  ( K ... N ) )
6564sselda 3316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
66 seqsplit.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6765, 66syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
68 seqsplit.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6932, 67, 68seqcl 11306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  e.  S )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S )
71 elfzuz3 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
72 fzss2 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... n )  C_  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
7343, 71, 723syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
74 fzss1 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( K ... N ) )
7532, 48, 743syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N ) )
7675adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( K ... N ) )
7773, 76sstrd 3326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( K ... N ) )
7877sselda 3316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
7966adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8078, 79syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8168adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8247, 80, 81seqcl 11306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
83 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
84 ssel2 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8575, 83, 84syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8666ralrimiva 2757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
8786adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( K ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
88 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
8988eleq1d 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
9089rspcv 3016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  ( A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )
9185, 87, 90sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
92 seqsplit.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
9392caovassg 6212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S  /\  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )  ->  ( ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9458, 70, 82, 91, 93syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 n ) ) 
.+  ( F `  ( n  +  1
) ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9557, 94eqtr4d 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 n ) ) 
.+  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
9654, 95eqeq12d 2426 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9746, 96syl5ibr 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9897expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
9998a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
10045, 99syld 42 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
101100expcom 425 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
102101a2d 24 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
10310, 17, 24, 31, 41, 102uzind4 10498 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
1041, 103mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
1053, 104mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674    C_ wss 3288   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   1c1 8955    + caddc 8957   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007    seq cseq 11286
This theorem is referenced by:  seq1p  11320  seqf1olem2  11326  bcval5  11572  clim2ser  12411  clim2ser2  12412  isumsplit  12583  gsumccat  14750  mulgnndir  14875  clim2div  25178  mblfinlem  26151  fmul01lt1lem1  27589  fmul01lt1lem2  27590
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-seq 11287
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