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Theorem seqsplit 11361
Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqsplit.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqsplit.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqsplit.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
seqsplit.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
seqsplit.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
seqsplit  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 N ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, K, y, z    x, M, y, z    ph, x, y, z   
x, N, y, z   
x,  .+ , y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem seqsplit
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqsplit.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
2 eluzfz2 11070 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
5 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
6 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
76oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) )
85, 7eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
94, 8imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
109imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
11 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
12 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  n
) )
13 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )
1413oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )
1611, 15imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
1716imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) ) )
18 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
19 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
20 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2120oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2318, 22imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
26 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  N
) )
27 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) )
2827oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
2926, 28eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
3025, 29imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
3130imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) ) )
32 seqsplit.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
33 seqp1 11343 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
35 eluzel2 10498 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
36 seq1 11341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( F `
 ( M  + 
1 ) ) )
371, 35, 363syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( F `  ( M  +  1 ) ) )
3837oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3934, 38eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) ) ) )
4039a1d 24 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
42 peano2fzr 11074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4342adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
4443expr 600 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
4544imim1d 72 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
46 oveq1 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
47 simprl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
48 peano2uz 10535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
4932, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
5049adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
51 uztrn 10507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5247, 50, 51syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
53 seqp1 11343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
55 seqp1 11343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5647, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5756oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
58 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ph )
59 eluzelz 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
6032, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
61 peano2uzr 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6260, 1, 61syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
63 fzss2 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... M )  C_  ( K ... N ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ... M
)  C_  ( K ... N ) )
6564sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
66 seqsplit.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6765, 66syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
68 seqsplit.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6932, 67, 68seqcl 11348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  e.  S )
7069adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S )
71 elfzuz3 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
72 fzss2 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... n )  C_  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
7343, 71, 723syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
74 fzss1 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( K ... N ) )
7532, 48, 743syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N ) )
7675adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( K ... N ) )
7773, 76sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( K ... N ) )
7877sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
7966adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8078, 79syldan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8168adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8247, 80, 81seqcl 11348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
83 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
84 ssel2 3345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8575, 83, 84syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8666ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
8786adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( K ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
88 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
8988eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
9089rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  ( A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )
9185, 87, 90sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
92 seqsplit.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
9392caovassg 6248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S  /\  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )  ->  ( ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9458, 70, 82, 91, 93syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 n ) ) 
.+  ( F `  ( n  +  1
) ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9557, 94eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 n ) ) 
.+  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
9654, 95eqeq12d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9746, 96syl5ibr 214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9897expr 600 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
9998a2d 25 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
10045, 99syld 43 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
101100expcom 426 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
102101a2d 25 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
10310, 17, 24, 31, 41, 102uzind4 10539 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
1041, 103mpcom 35 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
1053, 104mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1c1 8996    + caddc 8998   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048    seq cseq 11328
This theorem is referenced by:  seq1p  11362  seqf1olem2  11368  bcval5  11614  clim2ser  12453  clim2ser2  12454  isumsplit  12625  gsumccat  14792  mulgnndir  14917  clim2div  25222  mblfinlem2  26256  fmul01lt1lem1  27704  fmul01lt1lem2  27705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329
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