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Theorem seqsplit 11079
Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqsplit.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqsplit.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqsplit.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
seqsplit.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
seqsplit.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
seqsplit  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 N ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, K, y, z    x, M, y, z    ph, x, y, z   
x, N, y, z   
x,  .+ , y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem seqsplit
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqsplit.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
2 eluzfz2 10804 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
5 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
6 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
76oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) )
85, 7eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
94, 8imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
11 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
12 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  n
) )
13 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )
1413oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )
1611, 15imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
1716imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) ) )
18 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
19 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
20 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2120oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2318, 22imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
26 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  N
) )
27 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) )
2827oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
2926, 28eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
3025, 29imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
3130imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) ) )
32 seqsplit.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
33 seqp1 11061 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3432, 33syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
35 eluzel2 10235 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
36 seq1 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( F `
 ( M  + 
1 ) ) )
371, 35, 363syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( F `  ( M  +  1 ) ) )
3837oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3934, 38eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) ) ) )
4039a1d 22 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
4140a1i 10 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
42 peano2fzr 10808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4342adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
4443expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
4544imim1d 69 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
46 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
47 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
48 peano2uz 10272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
4932, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
51 uztrn 10244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5247, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
53 seqp1 11061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
55 seqp1 11061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5647, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5756oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
58 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ph )
59 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
6032, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
61 peano2uzr 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6260, 1, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
63 fzss2 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... M )  C_  ( K ... N ) )
6462, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ... M
)  C_  ( K ... N ) )
6564sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
66 seqsplit.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6765, 66syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
68 seqsplit.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6932, 67, 68seqcl 11066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  e.  S )
7069adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S )
71 elfzuz3 10795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
72 fzss2 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... n )  C_  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
7343, 71, 723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
74 fzss1 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( K ... N ) )
7532, 48, 743syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N ) )
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( K ... N ) )
7773, 76sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( K ... N ) )
7877sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
7966adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8078, 79syldan 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8168adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8247, 80, 81seqcl 11066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
83 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
84 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8575, 83, 84syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8666ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
8786adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( K ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
88 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
8988eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
9089rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  ( A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )
9185, 87, 90sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
92 seqsplit.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
9392caovassg 6018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S  /\  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )  ->  ( ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9458, 70, 82, 91, 93syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 n ) ) 
.+  ( F `  ( n  +  1
) ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9557, 94eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 n ) ) 
.+  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
9654, 95eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9746, 96syl5ibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9897expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
9998a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
10045, 99syld 40 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
101100expcom 424 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
102101a2d 23 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
10310, 17, 24, 31, 41, 102uzind4 10276 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
1041, 103mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
1053, 104mpd 14 1  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046
This theorem is referenced by:  seq1p  11080  seqf1olem2  11086  bcval5  11330  clim2ser  12128  clim2ser2  12129  isumsplit  12299  gsumccat  14464  mulgnndir  14589  fmul01lt1lem1  27714  fmul01lt1lem2  27715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047
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