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Theorem seqsplit 11243
Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqsplit.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqsplit.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqsplit.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
seqsplit.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
seqsplit.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
seqsplit  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 N ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, K, y, z    x, M, y, z    ph, x, y, z   
x, N, y, z   
x,  .+ , y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem seqsplit
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqsplit.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
2 eluzfz2 10957 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4 eleq1 2426 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
5 fveq2 5632 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
6 fveq2 5632 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
76oveq2d 5997 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) )
85, 7eqeq12d 2380 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
94, 8imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
11 eleq1 2426 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
12 fveq2 5632 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  n
) )
13 fveq2 5632 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )
1413oveq2d 5997 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2380 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )
1611, 15imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
1716imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) ) )
18 eleq1 2426 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
19 fveq2 5632 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
20 fveq2 5632 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2120oveq2d 5997 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2380 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2318, 22imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2426 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
26 fveq2 5632 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  N
) )
27 fveq2 5632 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) )
2827oveq2d 5997 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
2926, 28eqeq12d 2380 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
3025, 29imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
3130imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) ) )
32 seqsplit.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
33 seqp1 11225 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3432, 33syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
35 eluzel2 10386 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
36 seq1 11223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( F `
 ( M  + 
1 ) ) )
371, 35, 363syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( F `  ( M  +  1 ) ) )
3837oveq2d 5997 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3934, 38eqtr4d 2401 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) ) ) )
4039a1d 22 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
4140a1i 10 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
42 peano2fzr 10961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4342adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
4443expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
4544imim1d 69 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
46 oveq1 5988 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
47 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
48 peano2uz 10423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
4932, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
51 uztrn 10395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5247, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
53 seqp1 11225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
55 seqp1 11225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5647, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5756oveq2d 5997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
58 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ph )
59 eluzelz 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
6032, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
61 peano2uzr 10425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6260, 1, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
63 fzss2 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... M )  C_  ( K ... N ) )
6462, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ... M
)  C_  ( K ... N ) )
6564sselda 3266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
66 seqsplit.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6765, 66syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
68 seqsplit.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6932, 67, 68seqcl 11230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  e.  S )
7069adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S )
71 elfzuz3 10948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
72 fzss2 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... n )  C_  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
7343, 71, 723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
74 fzss1 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( K ... N ) )
7532, 48, 743syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N ) )
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( K ... N ) )
7773, 76sstrd 3275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( K ... N ) )
7877sselda 3266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
7966adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8078, 79syldan 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8168adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8247, 80, 81seqcl 11230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
83 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
84 ssel2 3261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8575, 83, 84syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8666ralrimiva 2711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
8786adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( K ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
88 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
8988eleq1d 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
9089rspcv 2965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  ( A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )
9185, 87, 90sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
92 seqsplit.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
9392caovassg 6145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S  /\  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )  ->  ( ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9458, 70, 82, 91, 93syl13anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 n ) ) 
.+  ( F `  ( n  +  1
) ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9557, 94eqtr4d 2401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 n ) ) 
.+  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
9654, 95eqeq12d 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9746, 96syl5ibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9897expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
9998a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
10045, 99syld 40 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
101100expcom 424 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
102101a2d 23 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
10310, 17, 24, 31, 41, 102uzind4 10427 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
1041, 103mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
1053, 104mpd 14 1  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628    C_ wss 3238   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   1c1 8885    + caddc 8887   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381   ...cfz 10935    seq cseq 11210
This theorem is referenced by:  seq1p  11244  seqf1olem2  11250  bcval5  11496  clim2ser  12335  clim2ser2  12336  isumsplit  12507  gsumccat  14674  mulgnndir  14799  clim2div  24786  fmul01lt1lem1  27305  fmul01lt1lem2  27306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-seq 11211
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