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Theorem seqz 11373
Description: If the operation  .+ has an absorbing element  Z (a.k.a. zero element), then any sequence containing a  Z evaluates to  Z. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqhomo.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqhomo.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqz.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( Z  .+  x )  =  Z )
seqz.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  .+  Z )  =  Z )
seqz.5  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
seqz.6  |-  ( ph  ->  N  e.  V )
seqz.7  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  =  Z )
Assertion
Ref Expression
seqz  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, K, y    x,  .+ , y    x, S, y   
x, Z, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem seqz
StepHypRef Expression
1 seqz.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
2 elfzuz 11057 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzelz 10498 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
6 seq1 11338 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  K
)  =  ( F `
 K ) )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  ( F `  K
) )
8 seqz.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  =  Z )
97, 8eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  Z )
10 seqeq1 11328 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  M  ->  seq  K (  .+  ,  F
)  =  seq  M
(  .+  ,  F
) )
1110fveq1d 5732 . . . . . . 7  |-  ( K  =  M  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  K
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  K
) )
1211eqeq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( K  =  M  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  K )  =  Z  <-> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  K )  =  Z ) )
139, 12syl5ibcom 213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  =  M  ->  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  K )  =  Z ) )
14 eluzel2 10495 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
153, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
16 seqm1 11342 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  K )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( K  - 
1 ) )  .+  ( F `  K ) ) )
1715, 16sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  K )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  ( F `
 K ) ) )
188adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( F `  K )  =  Z )
1918oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  ( F `
 K ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  Z ) )
20 eluzp1m1 10511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2115, 20sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
22 fzssp1 11097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M ... ( K  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) )
235zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
24 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
25 npcan 9316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
2623, 24, 25sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
2726oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( K  -  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... K ) )
2822, 27syl5sseq 3398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... K ) )
29 elfzuz3 11058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
301, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
31 fzss2 11094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M ... N ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ... K
)  C_  ( M ... N ) )
3328, 32sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
3433adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
3534sselda 3350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N
) )
36 seqhomo.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
3736adantlr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
3835, 37syldan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
39 seqhomo.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
4039adantlr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
4121, 38, 40seqcl 11345 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( K  -  1 ) )  e.  S )
42 seqz.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  .+  Z )  =  Z )
4342ralrimiva 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( x  .+  Z )  =  Z )
4443adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( x  .+  Z )  =  Z )
45 oveq1 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( K  -  1 ) )  ->  ( x  .+  Z )  =  ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( K  - 
1 ) )  .+  Z ) )
4645eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( K  -  1 ) )  ->  ( ( x 
.+  Z )  =  Z  <->  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  Z )  =  Z ) )
4746rspcv 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  e.  S  -> 
( A. x  e.  S  ( x  .+  Z )  =  Z  ->  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  Z )  =  Z ) )
4841, 44, 47sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  Z )  =  Z )
4919, 48eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  ( F `
 K ) )  =  Z )
5017, 49eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  K )  =  Z )
5150ex 425 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  K )  =  Z ) )
52 uzp1 10521 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
533, 52syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  =  M  \/  K  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) )
5413, 51, 53mpjaod 372 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  Z )
5554, 8eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  ( F `  K
) )
56 eqidd 2439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
573, 55, 30, 56seqfveq2 11347 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )
58 fvex 5744 . . . . . 6  |-  ( F `
 K )  e. 
_V
5958elsnc 3839 . . . . 5  |-  ( ( F `  K )  e.  { Z }  <->  ( F `  K )  =  Z )
608, 59sylibr 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  e.  { Z } )
61 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  x  e.  { Z } )
62 elsn 3831 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { Z }  <->  x  =  Z )
6361, 62sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  x  =  Z )
6463oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( Z  .+  y ) )
65 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  y  e.  S )
66 seqz.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( Z  .+  x )  =  Z )
6766ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( Z  .+  x )  =  Z )
6867adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  A. x  e.  S  ( Z  .+  x )  =  Z )
69 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( Z  .+  x )  =  ( Z  .+  y
) )
7069eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( Z  .+  x
)  =  Z  <->  ( Z  .+  y )  =  Z ) )
7170rspcv 3050 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( Z  .+  x )  =  Z  ->  ( Z  .+  y )  =  Z ) )
7265, 68, 71sylc 59 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  ( Z  .+  y )  =  Z )
7364, 72eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .+  y )  =  Z )
74 ovex 6108 . . . . . 6  |-  ( x 
.+  y )  e. 
_V
7574elsnc 3839 . . . . 5  |-  ( ( x  .+  y )  e.  { Z }  <->  ( x  .+  y )  =  Z )
7673, 75sylibr 205 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  { Z } )
77 peano2uz 10532 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
783, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
79 fzss1 11093 . . . . . . 7  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... N )  C_  ( M ... N ) )
8078, 79syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
8180sselda 3350 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  x  e.  ( M ... N
) )
8281, 36syldan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
8360, 76, 30, 82seqcl2 11343 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e. 
{ Z } )
84 elsni 3840 . . 3  |-  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  { Z }  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  Z )
8583, 84syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
8657, 85eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   {csn 3816   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   1c1 8993    + caddc 8995    - cmin 9293   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045    seq cseq 11325
This theorem is referenced by:  bcval5  11611  elqaalem2  20239  lgsne0  21119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-seq 11326
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