MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ser0f Unicode version

Theorem ser0f 11303
Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ser0.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
ser0f  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq  M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) )  =  ( Z  X.  {
0 } ) )

Proof of Theorem ser0f
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ser0.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
21ser0 11302 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  (  seq  M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 k )  =  0 )
3 c0ex 9018 . . . . 5  |-  0  e.  _V
43fvconst2 5886 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( Z  X.  {
0 } ) `  k )  =  0 )
52, 4eqtr4d 2422 . . 3  |-  ( k  e.  Z  ->  (  seq  M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k ) )
65rgen 2714 . 2  |-  A. k  e.  Z  (  seq  M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) ) `  k )  =  ( ( Z  X.  {
0 } ) `  k )
7 seqfn 11262 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq  M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  M )
)
81fneq2i 5480 . . . 4  |-  (  seq 
M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  Fn  Z  <->  seq  M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
97, 8sylibr 204 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq  M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) )  Fn  Z )
103fconst 5569 . . . 4  |-  ( Z  X.  { 0 } ) : Z --> { 0 }
11 ffn 5531 . . . 4  |-  ( ( Z  X.  { 0 } ) : Z --> { 0 }  ->  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
)
1210, 11ax-mp 8 . . 3  |-  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
13 eqfnfv 5766 . . 3  |-  ( (  seq  M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) )  Fn  Z  /\  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
)  ->  (  seq  M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) )  =  ( Z  X.  {
0 } )  <->  A. k  e.  Z  (  seq  M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) ) `  k )  =  ( ( Z  X.  {
0 } ) `  k ) ) )
149, 12, 13sylancl 644 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } )  <->  A. k  e.  Z  (  seq  M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) ) `  k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  k ) ) )
156, 14mpbiri 225 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq  M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) )  =  ( Z  X.  {
0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   {csn 3757    X. cxp 4816    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394   0cc0 8923    + caddc 8926   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420    seq cseq 11250
This theorem is referenced by:  serclim0  12298  ovolctb  19253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-seq 11251
  Copyright terms: Public domain W3C validator