Theorem ser1cmp2lem 7176

Description: Lemma for ser1cmp2 7177.

Hypotheses

Ref	Expression
ser1cmp2.1	|- F:NN-->RR
ser1cmp2.2	|- G:NN-->RR
ser1cmp2.3	|- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
ser1cmp2.4	|- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (F` x))
ser1cmp2.5	|- S = sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < )

Assertion

Ref	Expression
ser1cmp2lem	|- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A <_ B -> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A))))

Distinct variable groups:   x,y,B   x,F   x,G

Proof of Theorem ser1cmp2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser1cmp2.2	. . . . . 6 |- G:NN-->RR
2	1	ser1ref 6332	. . . . 5 |- ( + seq1 G):NN-->RR
3	2	seq1ub 6912	. . . 4 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B) -> (( + seq1 G)` A) <_ sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < ))
4		ser1cmp2.5	. . . 4 |- S = sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < )
5	3, 4	syl6breqr 2655	. . 3 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B) -> (( + seq1 G)` A) <_ S)
6	5	3expia 835	. 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A <_ B -> (( + seq1 G)` A) <_ S))
7		addge01t 5672	. . . . 5 |- ((S e. RR /\ (( + seq1 F)` A) e. RR) -> (0 <_ (( + seq1 F)` A) <-> S <_ (S + (( + seq1 F)` A))))
8	7	biimp3a 919	. . . 4 |- ((S e. RR /\ (( + seq1 F)` A) e. RR /\ 0 <_ (( + seq1 F)` A)) -> S <_ (S + (( + seq1 F)` A)))
9	2	seq1ublem 6911	. . . . . . 7 |- (B e. NN -> (ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) (_ RR /\ ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) =/= (/) /\ E.x e. RR A.z e. ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B})z <_ x))
10		suprcl 6055	. . . . . . 7 |- ((ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) (_ RR /\ ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) =/= (/) /\ E.x e. RR A.z e. ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B})z <_ x) -> sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < ) e. RR)
11	9, 10	syl 10	. . . . . 6 |- (B e. NN -> sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < ) e. RR)
12	11, 4	syl5eqel 1552	. . . . 5 |- (B e. NN -> S e. RR)
13	12	adantl 388	. . . 4 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> S e. RR)
14		ser1cmp2.1	. . . . . 6 |- F:NN-->RR
15	14	ser1recl 6331	. . . . 5 |- (A e. NN -> (( + seq1 F)` A) e. RR)
16	15	adantr 389	. . . 4 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (( + seq1 F)` A) e. RR)
17		ser1cmp2.3	. . . . . 6 |- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
18	14, 17	ser1cmp0 7175	. . . . 5 |- (A e. NN -> 0 <_ (( + seq1 F)` A))
19	18	adantr 389	. . . 4 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> 0 <_ (( + seq1 F)` A))
20	8, 13, 16, 19	syl3anc 858	. . 3 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> S <_ (S + (( + seq1 F)` A)))
21		letrt 5525	. . . 4 |- (((( + seq1 G)` A) e. RR /\ S e. RR /\ (S + (( + seq1 F)` A)) e. RR) -> (((( + seq1 G)` A) <_ S /\ S <_ (S + (( + seq1 F)` A))) -> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A))))
22	1	ser1recl 6331	. . . . 5 |- (A e. NN -> (( + seq1 G)` A) e. RR)
23	22	adantr 389	. . . 4 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (( + seq1 G)` A) e. RR)
24		axaddrcl 5272	. . . . . 6 |- ((S e. RR /\ (( + seq1 F)` A) e. RR) -> (S + (( + seq1 F)` A)) e. RR)
25	24, 12, 15	syl2an 454	. . . . 5 |- ((B e. NN /\ A e. NN) -> (S + (( + seq1 F)` A)) e. RR)
26	25	ancoms 436	. . . 4 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (S + (( + seq1 F)` A)) e. RR)
27	21, 23, 13, 26	syl3anc 858	. . 3 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (((( + seq1 G)` A) <_ S /\ S <_ (S + (( + seq1 F)` A))) -> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A))))
28	20, 27	mpan2d 702	. 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> ((( + seq1 G)` A) <_ S -> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A))))
29	6, 28	syld 27	1 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A <_ B -> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  ran crn 3171   |` cres 3172  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  0cc0 5234   + caddc 5237   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486   seq1 cseq1 6307

This theorem is referenced by:  ser1cmp2 7177

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754

Copyright terms: Public domain