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Theorem serf0 12474
Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgb.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
serf0.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
serf0.3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
serf0.4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
serf0.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
serf0  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, Z    ph, k    k, V

Proof of Theorem serf0
Dummy variables  j  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serf0.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
2 serf0.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 caucvgb.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
43caucvgb 12473 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
52, 1, 4syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
61, 5mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  < 
x ) )
73cau3 12159 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x ) )
86, 7sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x ) )
93peano2uzs 10531 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
109adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
11 eluzelz 10496 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  m  e.  ZZ )
12 uzid 10500 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
13 peano2uz 10530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  m )
)
14 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
)  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) )
1514oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( m  +  1
) ) ) )
1615fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) ) )
1716breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
1817rspcv 3048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
1913, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
2011, 12, 193syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
2120adantld 454 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
2221ralimia 2779 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x )
23 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
2423, 3syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
25 eluzelz 10496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ZZ )
27 eluzp1m1 10509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )
2826, 27sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
29 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) )
30 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
m  +  1 )  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
3130fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )
3229, 31oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( k  - 
1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
3332fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
3433breq1d 4222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
3534rspcv 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
3628, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
37 serf0.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
383, 2, 37serf 11351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> CC )
3938ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> CC )
403uztrn2 10503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  Z )
4123, 40sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
) )  ->  (
k  -  1 )  e.  Z )
4228, 41syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  Z )
4339, 42ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
443uztrn2 10503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  Z )
4510, 44sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  Z )
4639, 45ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  k )  e.  CC )
4743, 46abssubd 12255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  k )
) )  =  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  k )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) ) ) )
48 eluzelz 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
4948adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
5049zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
51 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
52 npcan 9314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  - 
1 )  +  1 )  =  k )
5350, 51, 52sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  -  1 )  +  1 )  =  k )
5453fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) )  =  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  k )
)
5554oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( k  - 
1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k ) ) )
5655fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
572ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
58 eluzp1p1 10511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
5924, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
60 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )
6160uztrn2 10503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
6259, 61sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
63 seqm1 11340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
(  seq  M (  +  ,  F ) `  k )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( k  - 
1 ) )  +  ( F `  k
) ) )
6457, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  k )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) )  +  ( F `
 k ) ) )
6564oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  +  ( F `  k ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) ) ) )
6637adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
6745, 66syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
6843, 67pncan2d 9413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  +  ( F `  k ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) )  =  ( F `  k ) )
6965, 68eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) ) ) )
7069fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  k )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) ) ) )
7147, 56, 703eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
7271breq1d 4222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7336, 72sylibd 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7473ralrimdva 2796 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7522, 74syl5 30 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
76 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
7776raleqdv 2910 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7877rspcev 3052 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  x
)  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
7910, 75, 78ee12an 1372 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
8079rexlimdva 2830 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
8180ralimdv 2785 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
828, 81mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  x
)
83 serf0.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
84 eqidd 2437 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
853, 2, 83, 84, 37clim0c 12301 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  0  <->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
8682, 85mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    - cmin 9291   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612    seq cseq 11323   abscabs 12039    ~~> cli 12278
This theorem is referenced by:  mertenslem2  12662  radcnvlem1  20329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283
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