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Theorem serf0 12169
Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgb.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
serf0.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
serf0.3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
serf0.4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
serf0.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
serf0  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, Z    ph, k    k, V

Proof of Theorem serf0
Dummy variables  j  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serf0.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
2 serf0.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 caucvgb.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
43caucvgb 12168 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
52, 1, 4syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
61, 5mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  < 
x ) )
73cau3 11855 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x ) )
86, 7sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x ) )
93peano2uzs 10289 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
109adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
11 eluzelz 10254 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  m  e.  ZZ )
12 uzid 10258 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
13 peano2uz 10288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  m )
)
14 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
)  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) )
1514oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( m  +  1
) ) ) )
1615fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) ) )
1716breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
1817rspcv 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
1913, 18syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
2011, 12, 193syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
2120adantld 453 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
2221ralimia 2629 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x )
23 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
2423, 3syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
25 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ZZ )
27 eluzp1m1 10267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )
2826, 27sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
29 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) )
30 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
m  +  1 )  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
3130fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )
3229, 31oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( k  - 
1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
3332fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
3433breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
3534rspcv 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
3628, 35syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
37 serf0.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
383, 2, 37serf 11090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> CC )
3938ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> CC )
403uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  Z )
4123, 40sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
) )  ->  (
k  -  1 )  e.  Z )
4228, 41syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  Z )
43 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> CC  /\  (
k  -  1 )  e.  Z )  -> 
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
4439, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
453uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  Z )
4610, 45sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  Z )
47 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> CC  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
)  e.  CC )
4839, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  k )  e.  CC )
4944, 48abssubd 11951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  k )
) )  =  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  k )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) ) ) )
50 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
5150adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
5251zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
53 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
54 npcan 9076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  - 
1 )  +  1 )  =  k )
5552, 53, 54sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  -  1 )  +  1 )  =  k )
5655fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) )  =  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  k )
)
5756oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( k  - 
1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k ) ) )
5857fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
592ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
60 eluzp1p1 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
6124, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
62 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )
6362uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
6461, 63sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
65 seqm1 11079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
(  seq  M (  +  ,  F ) `  k )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( k  - 
1 ) )  +  ( F `  k
) ) )
6659, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  k )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) )  +  ( F `
 k ) ) )
6766oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  +  ( F `  k ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) ) ) )
6837adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
6946, 68syldan 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7044, 69pncan2d 9175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  +  ( F `  k ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) )  =  ( F `  k ) )
7167, 70eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) ) ) )
7271fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  k )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) ) ) )
7349, 58, 723eqtr4d 2338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
7473breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7536, 74sylibd 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7675ralrimdva 2646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7722, 76syl5 28 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
78 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
7978raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
8079rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  x
)  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
8110, 77, 80ee12an 1353 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
8281rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
8382ralimdv 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
848, 83mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  x
)
85 serf0.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
86 eqidd 2297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
873, 2, 85, 86, 37clim0c 11997 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  0  <->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
8884, 87mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370    seq cseq 11062   abscabs 11735    ~~> cli 11974
This theorem is referenced by:  mertenslem2  12357  radcnvlem1  19805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979
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