Theorem setcbas 14196

Description: Set of objects of the category of sets (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcbas.c	|- C = ( SetCat ` U )
setcbas.u	|- ( ph -> U e. V )

Assertion

Ref	Expression
setcbas	|- ( ph -> U = ( Base ` C ) )

Proof of Theorem setcbas

Dummy variables f g v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setcbas.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
2		catstr 14117	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , U >. , <. ( Hom ` ndx ) , ( x e. U , y e. U |-> ( y ^m x ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( v e. ( U X. U ) , z e. U |-> ( g e. ( z ^m ( 2nd ` v ) ) , f e. ( ( 2nd ` v ) ^m ( 1st ` v ) ) |-> ( g o. f ) ) ) >. } Struct <. 1 , ; 1 5 >.
3		baseid 13474	. . . 4 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
4		snsstp1 3917	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , U >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , U >. , <. ( Hom ` ndx ) , ( x e. U , y e. U |-> ( y ^m x ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( v e. ( U X. U ) , z e. U |-> ( g e. ( z ^m ( 2nd ` v ) ) , f e. ( ( 2nd ` v ) ^m ( 1st ` v ) ) |-> ( g o. f ) ) ) >. }
5	2, 3, 4	strfv 13464	. . 3 |- ( U e. V -> U = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , U >. , <. ( Hom ` ndx ) , ( x e. U , y e. U |-> ( y ^m x ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( v e. ( U X. U ) , z e. U |-> ( g e. ( z ^m ( 2nd ` v ) ) , f e. ( ( 2nd ` v ) ^m ( 1st ` v ) ) |-> ( g o. f ) ) ) >. } ) )
6	1, 5	syl 16	. 2 |- ( ph -> U = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , U >. , <. ( Hom ` ndx ) , ( x e. U , y e. U |-> ( y ^m x ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( v e. ( U X. U ) , z e. U |-> ( g e. ( z ^m ( 2nd ` v ) ) , f e. ( ( 2nd ` v ) ^m ( 1st ` v ) ) |-> ( g o. f ) ) ) >. } ) )
7		setcbas.c	. . . 4 |- C = ( SetCat ` U )
8		eqidd 2413	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. U , y e. U |-> ( y ^m x ) ) = ( x e. U , y e. U |-> ( y ^m x ) ) )
9		eqidd 2413	. . . 4 |- ( ph -> ( v e. ( U X. U ) , z e. U |-> ( g e. ( z ^m ( 2nd ` v ) ) , f e. ( ( 2nd ` v ) ^m ( 1st ` v ) ) |-> ( g o. f ) ) ) = ( v e. ( U X. U ) , z e. U |-> ( g e. ( z ^m ( 2nd ` v ) ) , f e. ( ( 2nd ` v ) ^m ( 1st ` v ) ) |-> ( g o. f ) ) ) )
10	7, 1, 8, 9	setcval 14195	. . 3 |- ( ph -> C = { <. ( Base ` ndx ) , U >. , <. ( Hom ` ndx ) , ( x e. U , y e. U |-> ( y ^m x ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( v e. ( U X. U ) , z e. U |-> ( g e. ( z ^m ( 2nd ` v ) ) , f e. ( ( 2nd ` v ) ^m ( 1st ` v ) ) |-> ( g o. f ) ) ) >. } )
11	10	fveq2d 5699	. 2 |- ( ph -> ( Base ` C ) = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , U >. , <. ( Hom ` ndx ) , ( x e. U , y e. U |-> ( y ^m x ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( v e. ( U X. U ) , z e. U |-> ( g e. ( z ^m ( 2nd ` v ) ) , f e. ( ( 2nd ` v ) ^m ( 1st ` v ) ) |-> ( g o. f ) ) ) >. } ) )
12	6, 11	eqtr4d 2447	1 |- ( ph -> U = ( Base ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   {ctp 3784   <.cop 3785   X. cxp 4843   o. ccom 4849   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   e. cmpt2 6050   1stc1st 6314   2ndc2nd 6315   ^m cmap 6985   1c1 8955   5c5 10016  ;cdc 10346   ndxcnx 13429   Basecbs 13432   Hom chom 13503  compcco 13504   SetCatcsetc 14193

This theorem is referenced by:  setccatid  14202  setcmon  14205  setcepi  14206  setcsect  14207  setcinv  14208  setciso  14209  resssetc  14210  funcsetcres2  14211  hofcl  14319  yonedalem3a  14334  yonedalem4c  14337  yonedalem3b  14339  yonedalem3  14340  yonedainv  14341  yonffthlem  14342

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-hom 13516  df-cco 13517  df-setc 14194