MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setccatid Unicode version

Theorem setccatid 13932
Description: Lemma for setccat 13933. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
setccat.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
Assertion
Ref Expression
setccatid  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  U  |->  (  _I  |`  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    x, U    x, V

Proof of Theorem setccatid
Dummy variables  f 
g  h  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setccat.c . . 3  |-  C  =  ( SetCat `  U )
2 id 19 . . 3  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  V )
31, 2setcbas 13926 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  U  =  ( Base `  C
) )
4 eqidd 2297 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C
) )
5 eqidd 2297 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  C ) )
6 fvex 5555 . . . 4  |-  ( SetCat `  U )  e.  _V
71, 6eqeltri 2366 . . 3  |-  C  e. 
_V
87a1i 10 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  _V )
9 biid 227 . 2  |-  ( ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U
)  /\  ( y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  (
f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) )  <->  ( (
w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  ( y  e.  U  /\  z  e.  U
)  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C ) x )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  h  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )
10 f1oi 5527 . . . 4  |-  (  _I  |`  x ) : x -1-1-onto-> x
11 f1of 5488 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  x ) : x -1-1-onto-> x  ->  (  _I  |`  x ) : x --> x )
1210, 11mp1i 11 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  (  _I  |`  x
) : x --> x )
13 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  U  e.  V )
14 eqid 2296 . . . 4  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
15 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  U )
161, 13, 14, 15, 15elsetchom 13929 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  ( (  _I  |`  x
)  e.  ( x (  Hom  `  C
) x )  <->  (  _I  |`  x ) : x --> x ) )
1712, 16mpbird 223 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  (  _I  |`  x
)  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )
18 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  U  e.  V )
19 eqid 2296 . . . 4  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
20 simpr1l 1012 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  w  e.  U )
21 simpr1r 1013 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  x  e.  U )
22 simpr31 1045 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x ) )
231, 18, 14, 20, 21elsetchom 13929 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  <->  f :
w --> x ) )
2422, 23mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
f : w --> x )
2510, 11mp1i 11 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
(  _I  |`  x
) : x --> x )
261, 18, 19, 20, 21, 21, 24, 25setcco 13931 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  x
) ( <. w ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  ( (  _I  |`  x )  o.  f ) )
27 fcoi2 5432 . . . 4  |-  ( f : w --> x  -> 
( (  _I  |`  x
)  o.  f )  =  f )
2824, 27syl 15 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  x
)  o.  f )  =  f )
2926, 28eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  x
) ( <. w ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f )
30 simpr2l 1014 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
y  e.  U )
31 simpr32 1046 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) )
321, 18, 14, 21, 30elsetchom 13929 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  <->  g :
x --> y ) )
3331, 32mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
g : x --> y )
341, 18, 19, 21, 21, 30, 25, 33setcco 13931 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (  _I  |`  x
) )  =  ( g  o.  (  _I  |`  x ) ) )
35 fcoi1 5431 . . . 4  |-  ( g : x --> y  -> 
( g  o.  (  _I  |`  x ) )  =  g )
3633, 35syl 15 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.  (  _I  |`  x ) )  =  g )
3734, 36eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (  _I  |`  x
) )  =  g )
381, 18, 19, 20, 21, 30, 24, 33setcco 13931 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  =  ( g  o.  f ) )
39 fco 5414 . . . . 5  |-  ( ( g : x --> y  /\  f : w --> x )  ->  ( g  o.  f ) : w --> y )
4033, 24, 39syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.  f
) : w --> y )
411, 18, 14, 20, 30elsetchom 13929 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( g  o.  f )  e.  ( w (  Hom  `  C
) y )  <->  ( g  o.  f ) : w --> y ) )
4240, 41mpbird 223 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.  f
)  e.  ( w (  Hom  `  C
) y ) )
4338, 42eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  e.  ( w (  Hom  `  C
) y ) )
44 coass 5207 . . . 4  |-  ( ( h  o.  g )  o.  f )  =  ( h  o.  (
g  o.  f ) )
45 simpr2r 1015 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
z  e.  U )
46 simpr33 1047 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) )
471, 18, 14, 30, 45elsetchom 13929 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h  e.  ( y (  Hom  `  C
) z )  <->  h :
y --> z ) )
4846, 47mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h : y --> z )
49 fco 5414 . . . . . 6  |-  ( ( h : y --> z  /\  g : x --> y )  ->  (
h  o.  g ) : x --> z )
5048, 33, 49syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h  o.  g
) : x --> z )
511, 18, 19, 20, 21, 45, 24, 50setcco 13931 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.  g ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( ( h  o.  g
)  o.  f ) )
521, 18, 19, 20, 30, 45, 40, 48setcco 13931 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g  o.  f ) )  =  ( h  o.  ( g  o.  f
) ) )
5344, 51, 523eqtr4a 2354 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.  g ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( h ( <. w ,  y >. (comp `  C ) z ) ( g  o.  f
) ) )
541, 18, 19, 21, 30, 45, 33, 48setcco 13931 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g )  =  ( h  o.  g ) )
5554oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( ( h  o.  g ) (
<. w ,  x >. (comp `  C ) z ) f ) )
5638oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) )  =  ( h ( <. w ,  y
>. (comp `  C )
z ) ( g  o.  f ) ) )
5753, 55, 563eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( h (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) ) )
583, 4, 5, 8, 9, 17, 29, 37, 43, 57iscatd2 13599 1  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  U  |->  (  _I  |`  x
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   <.cop 3656    e. cmpt 4093    _I cid 4320    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    Hom chom 13235  compcco 13236   Catccat 13582   Idccid 13583   SetCatcsetc 13923
This theorem is referenced by:  setccat  13933  setcid  13934
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-hom 13248  df-cco 13249  df-cat 13586  df-cid 13587  df-setc 13924
  Copyright terms: Public domain W3C validator