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Theorem setccatid 14240
Description: Lemma for setccat 14241. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
setccat.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
Assertion
Ref Expression
setccatid  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  U  |->  (  _I  |`  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    x, U    x, V

Proof of Theorem setccatid
Dummy variables  f 
g  h  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setccat.c . . 3  |-  C  =  ( SetCat `  U )
2 id 21 . . 3  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  V )
31, 2setcbas 14234 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  U  =  ( Base `  C
) )
4 eqidd 2438 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C
) )
5 eqidd 2438 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  C ) )
6 fvex 5743 . . . 4  |-  ( SetCat `  U )  e.  _V
71, 6eqeltri 2507 . . 3  |-  C  e. 
_V
87a1i 11 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  _V )
9 biid 229 . 2  |-  ( ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U
)  /\  ( y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  (
f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) )  <->  ( (
w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  ( y  e.  U  /\  z  e.  U
)  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C ) x )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  h  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )
10 f1oi 5714 . . . 4  |-  (  _I  |`  x ) : x -1-1-onto-> x
11 f1of 5675 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  x ) : x -1-1-onto-> x  ->  (  _I  |`  x ) : x --> x )
1210, 11mp1i 12 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  (  _I  |`  x
) : x --> x )
13 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  U  e.  V )
14 eqid 2437 . . . 4  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
15 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  U )
161, 13, 14, 15, 15elsetchom 14237 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  ( (  _I  |`  x
)  e.  ( x (  Hom  `  C
) x )  <->  (  _I  |`  x ) : x --> x ) )
1712, 16mpbird 225 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  (  _I  |`  x
)  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )
18 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  U  e.  V )
19 eqid 2437 . . . 4  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
20 simpr1l 1015 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  w  e.  U )
21 simpr1r 1016 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  x  e.  U )
22 simpr31 1048 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x ) )
231, 18, 14, 20, 21elsetchom 14237 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  <->  f :
w --> x ) )
2422, 23mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
f : w --> x )
2510, 11mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
(  _I  |`  x
) : x --> x )
261, 18, 19, 20, 21, 21, 24, 25setcco 14239 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  x
) ( <. w ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  ( (  _I  |`  x )  o.  f ) )
27 fcoi2 5619 . . . 4  |-  ( f : w --> x  -> 
( (  _I  |`  x
)  o.  f )  =  f )
2824, 27syl 16 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  x
)  o.  f )  =  f )
2926, 28eqtrd 2469 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  x
) ( <. w ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f )
30 simpr2l 1017 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
y  e.  U )
31 simpr32 1049 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) )
321, 18, 14, 21, 30elsetchom 14237 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  <->  g :
x --> y ) )
3331, 32mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
g : x --> y )
341, 18, 19, 21, 21, 30, 25, 33setcco 14239 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (  _I  |`  x
) )  =  ( g  o.  (  _I  |`  x ) ) )
35 fcoi1 5618 . . . 4  |-  ( g : x --> y  -> 
( g  o.  (  _I  |`  x ) )  =  g )
3633, 35syl 16 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.  (  _I  |`  x ) )  =  g )
3734, 36eqtrd 2469 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (  _I  |`  x
) )  =  g )
381, 18, 19, 20, 21, 30, 24, 33setcco 14239 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  =  ( g  o.  f ) )
39 fco 5601 . . . . 5  |-  ( ( g : x --> y  /\  f : w --> x )  ->  ( g  o.  f ) : w --> y )
4033, 24, 39syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.  f
) : w --> y )
411, 18, 14, 20, 30elsetchom 14237 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( g  o.  f )  e.  ( w (  Hom  `  C
) y )  <->  ( g  o.  f ) : w --> y ) )
4240, 41mpbird 225 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.  f
)  e.  ( w (  Hom  `  C
) y ) )
4338, 42eqeltrd 2511 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  e.  ( w (  Hom  `  C
) y ) )
44 coass 5389 . . . 4  |-  ( ( h  o.  g )  o.  f )  =  ( h  o.  (
g  o.  f ) )
45 simpr2r 1018 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
z  e.  U )
46 simpr33 1050 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) )
471, 18, 14, 30, 45elsetchom 14237 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h  e.  ( y (  Hom  `  C
) z )  <->  h :
y --> z ) )
4846, 47mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h : y --> z )
49 fco 5601 . . . . . 6  |-  ( ( h : y --> z  /\  g : x --> y )  ->  (
h  o.  g ) : x --> z )
5048, 33, 49syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h  o.  g
) : x --> z )
511, 18, 19, 20, 21, 45, 24, 50setcco 14239 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.  g ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( ( h  o.  g
)  o.  f ) )
521, 18, 19, 20, 30, 45, 40, 48setcco 14239 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g  o.  f ) )  =  ( h  o.  ( g  o.  f
) ) )
5344, 51, 523eqtr4a 2495 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.  g ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( h ( <. w ,  y >. (comp `  C ) z ) ( g  o.  f
) ) )
541, 18, 19, 21, 30, 45, 33, 48setcco 14239 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g )  =  ( h  o.  g ) )
5554oveq1d 6097 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( ( h  o.  g ) (
<. w ,  x >. (comp `  C ) z ) f ) )
5638oveq2d 6098 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) )  =  ( h ( <. w ,  y
>. (comp `  C )
z ) ( g  o.  f ) ) )
5753, 55, 563eqtr4d 2479 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( h (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) ) )
583, 4, 5, 8, 9, 17, 29, 37, 43, 57iscatd2 13907 1  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  U  |->  (  _I  |`  x
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957   <.cop 3818    e. cmpt 4267    _I cid 4494    |` cres 4881    o. ccom 4883   -->wf 5451   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    Hom chom 13541  compcco 13542   Catccat 13890   Idccid 13891   SetCatcsetc 14231
This theorem is referenced by:  setccat  14241  setcid  14242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-hom 13554  df-cco 13555  df-cat 13894  df-cid 13895  df-setc 14232
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