Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setcco Structured version   Unicode version

Theorem setcco 14238
 Description: Composition in the category of sets. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcbas.c
setcbas.u
setcco.o comp
setcco.x
setcco.y
setcco.z
setcco.f
setcco.g
Assertion
Ref Expression
setcco

Proof of Theorem setcco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setcbas.c . . . 4
2 setcbas.u . . . 4
3 setcco.o . . . 4 comp
41, 2, 3setccofval 14237 . . 3
5 simprr 734 . . . . 5
6 simprl 733 . . . . . . 7
76fveq2d 5732 . . . . . 6
8 setcco.x . . . . . . . 8
9 setcco.y . . . . . . . 8
10 op2ndg 6360 . . . . . . . 8
118, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . 7
1211adantr 452 . . . . . 6
137, 12eqtrd 2468 . . . . 5
145, 13oveq12d 6099 . . . 4
156fveq2d 5732 . . . . . 6
16 op1stg 6359 . . . . . . . 8
178, 9, 16syl2anc 643 . . . . . . 7
1817adantr 452 . . . . . 6
1915, 18eqtrd 2468 . . . . 5
2013, 19oveq12d 6099 . . . 4
21 eqidd 2437 . . . 4
2214, 20, 21mpt2eq123dv 6136 . . 3
23 opelxpi 4910 . . . 4
248, 9, 23syl2anc 643 . . 3
25 setcco.z . . 3
26 ovex 6106 . . . . 5
27 ovex 6106 . . . . 5
2826, 27mpt2ex 6425 . . . 4
2928a1i 11 . . 3
304, 22, 24, 25, 29ovmpt2d 6201 . 2
31 simprl 733 . . 3
32 simprr 734 . . 3
3331, 32coeq12d 5037 . 2
34 setcco.g . . 3
35 elmapg 7031 . . . 4
3625, 9, 35syl2anc 643 . . 3
3734, 36mpbird 224 . 2
38 setcco.f . . 3
39 elmapg 7031 . . . 4
409, 8, 39syl2anc 643 . . 3
4138, 40mpbird 224 . 2
42 coexg 5412 . . 3
4337, 41, 42syl2anc 643 . 2
4430, 33, 37, 41, 43ovmpt2d 6201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956  cop 3817   cxp 4876   ccom 4882  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  c1st 6347  c2nd 6348   cmap 7018  compcco 13541  csetc 14230 This theorem is referenced by:  setccatid  14239  setcmon  14242  setcepi  14243  setcsect  14244  resssetc  14247  hofcllem  14355  yonedalem4c  14374  yonedalem3b  14376  yonedainv  14378 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-hom 13553  df-cco 13554  df-setc 14231
 Copyright terms: Public domain W3C validator