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Theorem setcepi 14236
Description: An epimorphism of sets is a surjection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcmon.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setcmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
setcmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
setcepi.h  |-  E  =  (Epi `  C )
setcepi.2  |-  ( ph  ->  2o  e.  U )
Assertion
Ref Expression
setcepi  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
F : X -onto-> Y
) )

Proof of Theorem setcepi
Dummy variables  x  g  a  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2436 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
3 eqid 2436 . . . . . 6  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4 setcepi.h . . . . . 6  |-  E  =  (Epi `  C )
5 setcmon.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
6 setcmon.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( SetCat `  U )
76setccat 14233 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
9 setcmon.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
106, 5setcbas 14226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
119, 10eleqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  C ) )
12 setcmon.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
1312, 10eleqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  C ) )
141, 2, 3, 4, 8, 11, 13epihom 13961 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  C_  ( X
(  Hom  `  C ) Y ) )
1514sselda 3341 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  e.  ( X (  Hom  `  C
) Y ) )
166, 5, 2, 9, 12elsetchom 14229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X (  Hom  `  C
) Y )  <->  F : X
--> Y ) )
1716biimpa 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X (  Hom  `  C
) Y ) )  ->  F : X --> Y )
1815, 17syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F : X
--> Y )
19 frn 5590 . . . . 5  |-  ( F : X --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ran  F  C_  Y )
21 ffn 5584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
2218, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  Fn  X )
23 fnfvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  X  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x
)  e.  ran  F
)
2422, 23sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
25 iftrue 3738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ran  F  ->  if ( ( F `  x )  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  /\  x  e.  X )  ->  if ( ( F `  x )  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
2726mpteq2dva 4288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( x  e.  X  |->  if ( ( F `  x
)  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( x  e.  X  |->  1o ) )
2818ffvelrnda 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  Y )
2918feqmptd 5772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( F `  x
) ) )
30 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) )
31 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a  e.  ran  F  <->  ( F `  x )  e.  ran  F ) )
3231ifbid 3750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  if (
( F `  x
)  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )
3328, 29, 30, 32fmptco 5894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  o.  F
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( ( F `  x
)  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) )
34 fconstmpt 4914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  X.  { 1o }
)  =  ( a  e.  Y  |->  1o )
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( Y  X.  { 1o } )  =  ( a  e.  Y  |->  1o ) )
36 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  1o  =  1o )
3728, 29, 35, 36fmptco 5894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( ( Y  X.  { 1o }
)  o.  F )  =  ( x  e.  X  |->  1o ) )
3827, 33, 373eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  o.  F
)  =  ( ( Y  X.  { 1o } )  o.  F
) )
395adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  U  e.  V )
409adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  X  e.  U )
4112adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  Y  e.  U )
42 setcepi.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2o  e.  U )
4342adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  2o  e.  U )
44 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )
45 1onn 6875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1o  e.  om
4645elexi 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1o  e.  _V
4746prid2 3906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
48 df2o3 6730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
4947, 48eleqtrri 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  2o
50 0ex 4332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  _V
5150prid1 3905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
5251, 48eleqtrri 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (/)  e.  2o
5349, 52keepel 3789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  Y  ->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
5544, 54fmpti 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) : Y --> 2o
5655a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) : Y --> 2o )
576, 39, 3, 40, 41, 43, 18, 56setcco 14231 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  =  ( ( a  e.  Y  |->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) ) )  o.  F ) )
58 fconst6g 5625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  e.  2o  ->  ( Y  X.  { 1o }
) : Y --> 2o )
5949, 58mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( Y  X.  { 1o } ) : Y --> 2o )
606, 39, 3, 40, 41, 43, 18, 59setcco 14231 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( ( Y  X.  { 1o }
) ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) 2o ) F )  =  ( ( Y  X.  { 1o } )  o.  F
) )
6138, 57, 603eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  =  ( ( Y  X.  { 1o } ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F ) )
628adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  C  e.  Cat )
6311adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  X  e.  ( Base `  C )
)
6413adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  Y  e.  ( Base `  C )
)
6542, 10eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2o  e.  ( Base `  C ) )
6665adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  2o  e.  ( Base `  C )
)
67 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  e.  ( X E Y ) )
686, 39, 2, 41, 43elsetchom 14229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( Y (  Hom  `  C
) 2o )  <->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) : Y --> 2o ) )
6956, 68mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( Y (  Hom  `  C ) 2o ) )
706, 39, 2, 41, 43elsetchom 14229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( ( Y  X.  { 1o }
)  e.  ( Y (  Hom  `  C
) 2o )  <->  ( Y  X.  { 1o } ) : Y --> 2o ) )
7159, 70mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( Y  X.  { 1o } )  e.  ( Y (  Hom  `  C ) 2o ) )
721, 2, 3, 4, 62, 63, 64, 66, 67, 69, 71epii 13962 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
( a  e.  Y  |->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) ) ) (
<. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  =  ( ( Y  X.  { 1o } ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  <->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( Y  X.  { 1o } ) ) )
7361, 72mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( Y  X.  { 1o } ) )
7473, 34syl6eq 2484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  1o ) )
7553rgenw 2766 . . . . . . . 8  |-  A. a  e.  Y  if (
a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o
76 mpteqb 5812 . . . . . . . 8  |-  ( A. a  e.  Y  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o  ->  ( ( a  e.  Y  |->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  1o )  <->  A. a  e.  Y  if (
a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o ) )
7775, 76ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  1o )  <->  A. a  e.  Y  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
7874, 77sylib 189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  A. a  e.  Y  if (
a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
79 1n0 6732 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =/=  (/)
8079necomi 2681 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  =/=  1o
81 df-ne 2601 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  =/=  1o  <->  -.  (/)  =  1o )
8280, 81mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  =  1o
83 iffalse 3739 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  a  e.  ran  F  ->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
8483eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  a  e.  ran  F  ->  ( if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
8582, 84mtbiri 295 . . . . . . . 8  |-  ( -.  a  e.  ran  F  ->  -.  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
8685con4i 124 . . . . . . 7  |-  ( if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o  ->  a  e.  ran  F )
8786ralimi 2774 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  Y  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o  ->  A. a  e.  Y  a  e.  ran  F )
8878, 87syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  A. a  e.  Y  a  e.  ran  F )
89 dfss3 3331 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  ran  F  <->  A. a  e.  Y  a  e.  ran  F )
9088, 89sylibr 204 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  Y  C_  ran  F )
9120, 90eqssd 3358 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ran  F  =  Y )
92 dffo2 5650 . . 3  |-  ( F : X -onto-> Y  <->  ( F : X --> Y  /\  ran  F  =  Y ) )
9318, 91, 92sylanbrc 646 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F : X -onto-> Y )
94 fof 5646 . . . . 5  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
9594adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F : X --> Y )
9616biimpar 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  F  e.  ( X (  Hom  `  C ) Y ) )
9795, 96syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F  e.  ( X (  Hom  `  C ) Y ) )
9810adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  U  =  ( Base `  C
) )
9998eleq2d 2503 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  U  <->  z  e.  ( Base `  C )
) )
1005ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  U  e.  V )
1019ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  X  e.  U )
10212ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  Y  e.  U )
103 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  z  e.  U )
10495adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  F : X
--> Y )
105 simprrl 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) )
1066, 100, 2, 102, 103elsetchom 14229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z )  <-> 
g : Y --> z ) )
107105, 106mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  g : Y
--> z )
1086, 100, 3, 101, 102, 103, 104, 107setcco 14231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( g
( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  =  ( g  o.  F ) )
109 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) )
1106, 100, 2, 102, 103elsetchom 14229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( h  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z )  <-> 
h : Y --> z ) )
111109, 110mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h : Y
--> z )
1126, 100, 3, 101, 102, 103, 104, 111setcco 14231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( h
( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  =  ( h  o.  F ) )
113108, 112eqeq12d 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  <-> 
( g  o.  F
)  =  ( h  o.  F ) ) )
114 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
115 ffn 5584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : Y --> z  -> 
g  Fn  Y )
116107, 115syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  g  Fn  Y )
117 ffn 5584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h : Y --> z  ->  h  Fn  Y )
118111, 117syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  Fn  Y )
119 cocan2 6018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  g  Fn  Y  /\  h  Fn  Y
)  ->  ( (
g  o.  F )  =  ( h  o.  F )  <->  g  =  h ) )
120114, 116, 118, 119syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g  o.  F )  =  ( h  o.  F )  <->  g  =  h ) )
121120biimpd 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g  o.  F )  =  ( h  o.  F )  ->  g  =  h ) )
122113, 121sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  ->  g  =  h ) )
123122anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  z  e.  U
)  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z )  /\  h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  ->  g  =  h ) )
124123ralrimivva 2791 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  z  e.  U )  ->  A. g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) )
125124ex 424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  U  ->  A. g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) A. h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
12699, 125sylbird 227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  ( Base `  C )  ->  A. g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
127126ralrimiv 2781 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  A. z  e.  ( Base `  C
) A. g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) )
1281, 2, 3, 4, 8, 11, 13isepi2 13960 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X (  Hom  `  C
) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C ) A. g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
129128adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <->  ( F  e.  ( X (  Hom  `  C ) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C
) A. g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
13097, 127, 129mpbir2and 889 . 2  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F  e.  ( X E Y ) )
13193, 130impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
F : X -onto-> Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2698    C_ wss 3313   (/)c0 3621   ifcif 3732   {csn 3807   {cpr 3808   <.cop 3810    e. cmpt 4259   omcom 4838    X. cxp 4869   ran crn 4872    o. ccom 4875    Fn wfn 5442   -->wf 5443   -onto->wfo 5445   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   1oc1o 6710   2oc2o 6711   Basecbs 13462    Hom chom 13533  compcco 13534   Catccat 13882  Epicepi 13948   SetCatcsetc 14223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-tpos 6472  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-hom 13546  df-cco 13547  df-cat 13886  df-cid 13887  df-oppc 13931  df-mon 13949  df-epi 13950  df-setc 14224
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