MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setchomfval Unicode version

Theorem setchomfval 14155
Description: Set of arrows of the category of sets (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcbas.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcbas.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setchomfval.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
Assertion
Ref Expression
setchomfval  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, ph    x, U, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    H( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem setchomfval
Dummy variables  f 
g  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setcbas.c . . 3  |-  C  =  ( SetCat `  U )
2 setcbas.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
3 eqidd 2382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) )  =  ( x  e.  U , 
y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) )
4 eqidd 2382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v )  ^m  ( 1st `  v
) )  |->  ( g  o.  f ) ) )  =  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v
)  ^m  ( 1st `  v ) )  |->  ( g  o.  f ) ) ) )
51, 2, 3, 4setcval 14153 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  U >. ,  <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v
) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v )  ^m  ( 1st `  v ) ) 
|->  ( g  o.  f
) ) ) >. } )
6 catstr 14075 . 2  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  U >. ,  <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v
) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v )  ^m  ( 1st `  v ) ) 
|->  ( g  o.  f
) ) ) >. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
7 homid 13564 . 2  |-  Hom  = Slot  (  Hom  `  ndx )
8 snsstp2 3887 . 2  |-  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) ) >. }  C_  {
<. ( Base `  ndx ) ,  U >. , 
<. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U
) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v
)  ^m  ( 1st `  v ) )  |->  ( g  o.  f ) ) ) >. }
9 mpt2exga 6357 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  U  e.  V )  ->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) )  e.  _V )
102, 2, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) )  e.  _V )
11 setchomfval.h . 2  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
125, 6, 7, 8, 10, 11strfv3 13423 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2893   {ctp 3753   <.cop 3754    X. cxp 4810    o. ccom 4816   ` cfv 5388  (class class class)co 6014    e. cmpt2 6016   1stc1st 6280   2ndc2nd 6281    ^m cmap 6948   1c1 8918   5c5 9978  ;cdc 10308   ndxcnx 13387   Basecbs 13390    Hom chom 13461  compcco 13462   SetCatcsetc 14151
This theorem is referenced by:  setchom  14156  setccofval  14158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-oadd 6658  df-er 6835  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-5 9987  df-6 9988  df-7 9989  df-8 9990  df-9 9991  df-10 9992  df-n0 10148  df-z 10209  df-dec 10309  df-uz 10415  df-fz 10970  df-struct 13392  df-ndx 13393  df-slot 13394  df-base 13395  df-hom 13474  df-cco 13475  df-setc 14152
  Copyright terms: Public domain W3C validator