MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setchomfval Structured version   Unicode version

Theorem setchomfval 14227
Description: Set of arrows of the category of sets (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcbas.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcbas.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setchomfval.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
Assertion
Ref Expression
setchomfval  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, ph    x, U, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    H( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem setchomfval
Dummy variables  f 
g  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setcbas.c . . 3  |-  C  =  ( SetCat `  U )
2 setcbas.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
3 eqidd 2437 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) )  =  ( x  e.  U , 
y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) )
4 eqidd 2437 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v )  ^m  ( 1st `  v
) )  |->  ( g  o.  f ) ) )  =  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v
)  ^m  ( 1st `  v ) )  |->  ( g  o.  f ) ) ) )
51, 2, 3, 4setcval 14225 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  U >. ,  <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v
) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v )  ^m  ( 1st `  v ) ) 
|->  ( g  o.  f
) ) ) >. } )
6 catstr 14147 . 2  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  U >. ,  <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v
) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v )  ^m  ( 1st `  v ) ) 
|->  ( g  o.  f
) ) ) >. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
7 homid 13636 . 2  |-  Hom  = Slot  (  Hom  `  ndx )
8 snsstp2 3943 . 2  |-  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) ) >. }  C_  {
<. ( Base `  ndx ) ,  U >. , 
<. (  Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U
) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v
)  ^m  ( 1st `  v ) )  |->  ( g  o.  f ) ) ) >. }
9 mpt2exga 6417 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  U  e.  V )  ->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) )  e.  _V )
102, 2, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) )  e.  _V )
11 setchomfval.h . 2  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
125, 6, 7, 8, 10, 11strfv3 13495 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2949   {ctp 3809   <.cop 3810    X. cxp 4869    o. ccom 4875   ` cfv 5447  (class class class)co 6074    e. cmpt2 6076   1stc1st 6340   2ndc2nd 6341    ^m cmap 7011   1c1 8984   5c5 10045  ;cdc 10375   ndxcnx 13459   Basecbs 13462    Hom chom 13533  compcco 13534   SetCatcsetc 14223
This theorem is referenced by:  setchom  14228  setccofval  14230
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-hom 13546  df-cco 13547  df-setc 14224
  Copyright terms: Public domain W3C validator