MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setcid Unicode version

Theorem setcid 13918
Description: The identity arrow in the category of sets is the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setccat.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcid.o  |-  .1.  =  ( Id `  C )
setcid.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setcid.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
Assertion
Ref Expression
setcid  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  =  (  _I  |`  X ) )

Proof of Theorem setcid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setcid.o . . 3  |-  .1.  =  ( Id `  C )
2 setcid.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
3 setccat.c . . . . . 6  |-  C  =  ( SetCat `  U )
43setccatid 13916 . . . . 5  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  U  |->  (  _I  |`  x
) ) ) )
52, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C
)  =  ( x  e.  U  |->  (  _I  |`  x ) ) ) )
65simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( x  e.  U  |->  (  _I  |`  x ) ) )
71, 6syl5eq 2327 . 2  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( x  e.  U  |->  (  _I  |`  x ) ) )
8 simpr 447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  x  =  X )
98reseq2d 4955 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  (  _I  |`  x )  =  (  _I  |`  X ) )
10 setcid.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
11 resiexg 4997 . . 3  |-  ( X  e.  U  ->  (  _I  |`  X )  e. 
_V )
1210, 11syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  X )  e.  _V )
137, 9, 10, 12fvmptd 5606 1  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  =  (  _I  |`  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077    _I cid 4304    |` cres 4691   ` cfv 5255   Catccat 13566   Idccid 13567   SetCatcsetc 13907
This theorem is referenced by:  setcsect  13921  hofcl  14033  yonedainv  14055
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-hom 13232  df-cco 13233  df-cat 13570  df-cid 13571  df-setc 13908
  Copyright terms: Public domain W3C validator