MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setciso Unicode version

Theorem setciso 13939
Description: An isomorphism in the category of sets is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcmon.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setcmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
setcmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
setciso.n  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
Assertion
Ref Expression
setciso  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X I Y )  <-> 
F : X -1-1-onto-> Y ) )

Proof of Theorem setciso
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2296 . . . 4  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
3 setcmon.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
4 setcmon.c . . . . . 6  |-  C  =  ( SetCat `  U )
54setccat 13933 . . . . 5  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
63, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
7 setcmon.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
84, 3setcbas 13926 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
97, 8eleqtrd 2372 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  C ) )
10 setcmon.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
1110, 8eleqtrd 2372 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  C ) )
12 setciso.n . . . 4  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
131, 2, 6, 9, 11, 12isoval 13683 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  =  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) )
1413eleq2d 2363 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X I Y )  <-> 
F  e.  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) ) )
151, 2, 6, 9, 11invfun 13682 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  ( X (Inv
`  C ) Y ) )
16 funfvbrb 5654 . . . . 5  |-  ( Fun  ( X (Inv `  C ) Y )  ->  ( F  e. 
dom  ( X (Inv
`  C ) Y )  <->  F ( X (Inv
`  C ) Y ) ( ( X (Inv `  C ) Y ) `  F
) ) )
1715, 16syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  ( X (Inv `  C
) Y )  <->  F ( X (Inv `  C ) Y ) ( ( X (Inv `  C
) Y ) `  F ) ) )
184, 3, 7, 10, 2setcinv 13938 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Inv `  C ) Y ) ( ( X (Inv `  C
) Y ) `  F )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( X (Inv `  C
) Y ) `  F )  =  `' F ) ) )
19 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( X (Inv
`  C ) Y ) `  F )  =  `' F )  ->  F : X -1-1-onto-> Y
)
2018, 19syl6bi 219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Inv `  C ) Y ) ( ( X (Inv `  C
) Y ) `  F )  ->  F : X -1-1-onto-> Y ) )
2117, 20sylbid 206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  ( X (Inv `  C
) Y )  ->  F : X -1-1-onto-> Y ) )
22 eqid 2296 . . . 4  |-  `' F  =  `' F
234, 3, 7, 10, 2setcinv 13938 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Inv `  C ) Y ) `' F  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  `' F  =  `' F ) ) )
24 funrel 5288 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( X (Inv `  C ) Y )  ->  Rel  ( X
(Inv `  C ) Y ) )
2515, 24syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Rel  ( X (Inv
`  C ) Y ) )
26 releldm 4927 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  ( X (Inv
`  C ) Y )  /\  F ( X (Inv `  C
) Y ) `' F )  ->  F  e.  dom  ( X (Inv
`  C ) Y ) )
2726ex 423 . . . . . 6  |-  ( Rel  ( X (Inv `  C ) Y )  ->  ( F ( X (Inv `  C
) Y ) `' F  ->  F  e.  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) ) )
2825, 27syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Inv `  C ) Y ) `' F  ->  F  e.  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) ) )
2923, 28sylbird 226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  `' F  =  `' F )  ->  F  e.  dom  ( X (Inv
`  C ) Y ) ) )
3022, 29mpan2i 658 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  e.  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) ) )
3121, 30impbid 183 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  ( X (Inv `  C
) Y )  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )
3214, 31bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X I Y )  <-> 
F : X -1-1-onto-> Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   Rel wrel 4710   Fun wfun 5265   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   Catccat 13582  Invcinv 13664    Iso ciso 13665   SetCatcsetc 13923
This theorem is referenced by:  yonffthlem  14072
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-hom 13248  df-cco 13249  df-cat 13586  df-cid 13587  df-sect 13666  df-inv 13667  df-iso 13668  df-setc 13924
  Copyright terms: Public domain W3C validator