MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setciso Unicode version

Theorem setciso 14173
Description: An isomorphism in the category of sets is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcmon.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setcmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
setcmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
setciso.n  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
Assertion
Ref Expression
setciso  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X I Y )  <-> 
F : X -1-1-onto-> Y ) )

Proof of Theorem setciso
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2387 . . . 4  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
3 setcmon.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
4 setcmon.c . . . . . 6  |-  C  =  ( SetCat `  U )
54setccat 14167 . . . . 5  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
63, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
7 setcmon.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
84, 3setcbas 14160 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
97, 8eleqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  C ) )
10 setcmon.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
1110, 8eleqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  C ) )
12 setciso.n . . . 4  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
131, 2, 6, 9, 11, 12isoval 13917 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  =  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) )
1413eleq2d 2454 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X I Y )  <-> 
F  e.  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) ) )
151, 2, 6, 9, 11invfun 13916 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  ( X (Inv
`  C ) Y ) )
16 funfvbrb 5782 . . . . 5  |-  ( Fun  ( X (Inv `  C ) Y )  ->  ( F  e. 
dom  ( X (Inv
`  C ) Y )  <->  F ( X (Inv
`  C ) Y ) ( ( X (Inv `  C ) Y ) `  F
) ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  ( X (Inv `  C
) Y )  <->  F ( X (Inv `  C ) Y ) ( ( X (Inv `  C
) Y ) `  F ) ) )
184, 3, 7, 10, 2setcinv 14172 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Inv `  C ) Y ) ( ( X (Inv `  C
) Y ) `  F )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( X (Inv `  C
) Y ) `  F )  =  `' F ) ) )
19 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( X (Inv
`  C ) Y ) `  F )  =  `' F )  ->  F : X -1-1-onto-> Y
)
2018, 19syl6bi 220 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Inv `  C ) Y ) ( ( X (Inv `  C
) Y ) `  F )  ->  F : X -1-1-onto-> Y ) )
2117, 20sylbid 207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  ( X (Inv `  C
) Y )  ->  F : X -1-1-onto-> Y ) )
22 eqid 2387 . . . 4  |-  `' F  =  `' F
234, 3, 7, 10, 2setcinv 14172 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Inv `  C ) Y ) `' F  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  `' F  =  `' F ) ) )
24 funrel 5411 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( X (Inv `  C ) Y )  ->  Rel  ( X
(Inv `  C ) Y ) )
2515, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Rel  ( X (Inv
`  C ) Y ) )
26 releldm 5042 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  ( X (Inv
`  C ) Y )  /\  F ( X (Inv `  C
) Y ) `' F )  ->  F  e.  dom  ( X (Inv
`  C ) Y ) )
2726ex 424 . . . . . 6  |-  ( Rel  ( X (Inv `  C ) Y )  ->  ( F ( X (Inv `  C
) Y ) `' F  ->  F  e.  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) ) )
2825, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Inv `  C ) Y ) `' F  ->  F  e.  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) ) )
2923, 28sylbird 227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  `' F  =  `' F )  ->  F  e.  dom  ( X (Inv
`  C ) Y ) ) )
3022, 29mpan2i 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  e.  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) ) )
3121, 30impbid 184 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  ( X (Inv `  C
) Y )  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )
3214, 31bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X I Y )  <-> 
F : X -1-1-onto-> Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   Rel wrel 4823   Fun wfun 5388   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   Catccat 13816  Invcinv 13898    Iso ciso 13899   SetCatcsetc 14157
This theorem is referenced by:  yonffthlem  14306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-hom 13480  df-cco 13481  df-cat 13820  df-cid 13821  df-sect 13900  df-inv 13901  df-iso 13902  df-setc 14158
  Copyright terms: Public domain W3C validator