MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setciso Structured version   Unicode version

Theorem setciso 14238
Description: An isomorphism in the category of sets is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcmon.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setcmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
setcmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
setciso.n  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
Assertion
Ref Expression
setciso  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X I Y )  <-> 
F : X -1-1-onto-> Y ) )

Proof of Theorem setciso
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2435 . . . 4  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
3 setcmon.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
4 setcmon.c . . . . . 6  |-  C  =  ( SetCat `  U )
54setccat 14232 . . . . 5  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
63, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
7 setcmon.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
84, 3setcbas 14225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
97, 8eleqtrd 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  C ) )
10 setcmon.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
1110, 8eleqtrd 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  C ) )
12 setciso.n . . . 4  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
131, 2, 6, 9, 11, 12isoval 13982 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  =  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) )
1413eleq2d 2502 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X I Y )  <-> 
F  e.  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) ) )
151, 2, 6, 9, 11invfun 13981 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  ( X (Inv
`  C ) Y ) )
16 funfvbrb 5835 . . . . 5  |-  ( Fun  ( X (Inv `  C ) Y )  ->  ( F  e. 
dom  ( X (Inv
`  C ) Y )  <->  F ( X (Inv
`  C ) Y ) ( ( X (Inv `  C ) Y ) `  F
) ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  ( X (Inv `  C
) Y )  <->  F ( X (Inv `  C ) Y ) ( ( X (Inv `  C
) Y ) `  F ) ) )
184, 3, 7, 10, 2setcinv 14237 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Inv `  C ) Y ) ( ( X (Inv `  C
) Y ) `  F )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( X (Inv `  C
) Y ) `  F )  =  `' F ) ) )
19 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( X (Inv
`  C ) Y ) `  F )  =  `' F )  ->  F : X -1-1-onto-> Y
)
2018, 19syl6bi 220 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Inv `  C ) Y ) ( ( X (Inv `  C
) Y ) `  F )  ->  F : X -1-1-onto-> Y ) )
2117, 20sylbid 207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  ( X (Inv `  C
) Y )  ->  F : X -1-1-onto-> Y ) )
22 eqid 2435 . . . 4  |-  `' F  =  `' F
234, 3, 7, 10, 2setcinv 14237 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Inv `  C ) Y ) `' F  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  `' F  =  `' F ) ) )
24 funrel 5463 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( X (Inv `  C ) Y )  ->  Rel  ( X
(Inv `  C ) Y ) )
2515, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Rel  ( X (Inv
`  C ) Y ) )
26 releldm 5094 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  ( X (Inv
`  C ) Y )  /\  F ( X (Inv `  C
) Y ) `' F )  ->  F  e.  dom  ( X (Inv
`  C ) Y ) )
2726ex 424 . . . . . 6  |-  ( Rel  ( X (Inv `  C ) Y )  ->  ( F ( X (Inv `  C
) Y ) `' F  ->  F  e.  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) ) )
2825, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Inv `  C ) Y ) `' F  ->  F  e.  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) ) )
2923, 28sylbird 227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  `' F  =  `' F )  ->  F  e.  dom  ( X (Inv
`  C ) Y ) ) )
3022, 29mpan2i 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  e.  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) ) )
3121, 30impbid 184 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  ( X (Inv `  C
) Y )  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )
3214, 31bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X I Y )  <-> 
F : X -1-1-onto-> Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   Rel wrel 4875   Fun wfun 5440   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   Catccat 13881  Invcinv 13963    Iso ciso 13964   SetCatcsetc 14222
This theorem is referenced by:  yonffthlem  14371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-hom 13545  df-cco 13546  df-cat 13885  df-cid 13886  df-sect 13965  df-inv 13966  df-iso 13967  df-setc 14223
  Copyright terms: Public domain W3C validator