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Theorem setcmon 14244
Description: A monomorphism of sets is an injection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcmon.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setcmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
setcmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
setcmon.h  |-  M  =  (Mono `  C )
Assertion
Ref Expression
setcmon  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
F : X -1-1-> Y
) )

Proof of Theorem setcmon
Dummy variables  x  g  h  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
3 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4 setcmon.h . . . . . 6  |-  M  =  (Mono `  C )
5 setcmon.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
6 setcmon.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( SetCat `  U )
76setccat 14242 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
9 setcmon.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
106, 5setcbas 14235 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
119, 10eleqtrd 2514 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  C ) )
12 setcmon.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
1312, 10eleqtrd 2514 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  C ) )
141, 2, 3, 4, 8, 11, 13monhom 13963 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X M Y )  C_  ( X
(  Hom  `  C ) Y ) )
1514sselda 3350 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  ->  F  e.  ( X (  Hom  `  C
) Y ) )
166, 5, 2, 9, 12elsetchom 14238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X (  Hom  `  C
) Y )  <->  F : X
--> Y ) )
1716biimpa 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X (  Hom  `  C
) Y ) )  ->  F : X --> Y )
1815, 17syldan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  ->  F : X
--> Y )
19 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
2019sneqd 3829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  { ( F `  x ) }  =  { ( F `  y ) } )
2120xpeq2d 4904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { ( F `
 x ) } )  =  ( X  X.  { ( F `
 y ) } ) )
2218adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  F : X --> Y )
23 ffn 5593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  F  Fn  X )
25 simprll 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  e.  X )
26 fcoconst 5907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  X  /\  x  e.  X )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { x }
) )  =  ( X  X.  { ( F `  x ) } ) )
2724, 25, 26syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { x } ) )  =  ( X  X.  { ( F `
 x ) } ) )
28 simprlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  y  e.  X )
29 fcoconst 5907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  X  /\  y  e.  X )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { y } ) )  =  ( X  X.  { ( F `  y ) } ) )
3024, 28, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { y } ) )  =  ( X  X.  { ( F `
 y ) } ) )
3121, 27, 303eqtr4d 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { x } ) )  =  ( F  o.  ( X  X.  { y } ) ) )
325ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  U  e.  V )
339ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  X  e.  U )
3412ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  Y  e.  U )
35 fconst6g 5634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  ->  ( X  X.  { x }
) : X --> X )
3625, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { x }
) : X --> X )
376, 32, 3, 33, 33, 34, 36, 22setcco 14240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F ( <. X ,  X >. (comp `  C
) Y ) ( X  X.  { x } ) )  =  ( F  o.  ( X  X.  { x }
) ) )
38 fconst6g 5634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  X  ->  ( X  X.  { y } ) : X --> X )
3928, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { y } ) : X --> X )
406, 32, 3, 33, 33, 34, 39, 22setcco 14240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F ( <. X ,  X >. (comp `  C
) Y ) ( X  X.  { y } ) )  =  ( F  o.  ( X  X.  { y } ) ) )
4131, 37, 403eqtr4d 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F ( <. X ,  X >. (comp `  C
) Y ) ( X  X.  { x } ) )  =  ( F ( <. X ,  X >. (comp `  C ) Y ) ( X  X.  {
y } ) ) )
428ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  C  e.  Cat )
4311ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  X  e.  ( Base `  C
) )
4413ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  Y  e.  ( Base `  C
) )
45 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  ( X M Y ) )
466, 32, 2, 33, 33elsetchom 14238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
x } )  e.  ( X (  Hom  `  C ) X )  <-> 
( X  X.  {
x } ) : X --> X ) )
4736, 46mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { x }
)  e.  ( X (  Hom  `  C
) X ) )
486, 32, 2, 33, 33elsetchom 14238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
y } )  e.  ( X (  Hom  `  C ) X )  <-> 
( X  X.  {
y } ) : X --> X ) )
4939, 48mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { y } )  e.  ( X (  Hom  `  C
) X ) )
501, 2, 3, 4, 42, 43, 44, 43, 45, 47, 49moni 13964 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( F ( <. X ,  X >. (comp `  C ) Y ) ( X  X.  {
x } ) )  =  ( F (
<. X ,  X >. (comp `  C ) Y ) ( X  X.  {
y } ) )  <-> 
( X  X.  {
x } )  =  ( X  X.  {
y } ) ) )
5141, 50mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { x }
)  =  ( X  X.  { y } ) )
5251fveq1d 5732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
x } ) `  x )  =  ( ( X  X.  {
y } ) `  x ) )
53 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
5453fvconst2 5949 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
( X  X.  {
x } ) `  x )  =  x )
5525, 54syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
x } ) `  x )  =  x )
56 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
5756fvconst2 5949 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
( X  X.  {
y } ) `  x )  =  y )
5825, 57syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
y } ) `  x )  =  y )
5952, 55, 583eqtr3d 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y )
6059expr 600 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
6160ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
62 dff13 6006 . . 3  |-  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
6318, 61, 62sylanbrc 647 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
64 f1f 5641 . . . 4  |-  ( F : X -1-1-> Y  ->  F : X --> Y )
6516biimpar 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  F  e.  ( X (  Hom  `  C ) Y ) )
6664, 65sylan2 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  F  e.  ( X
(  Hom  `  C ) Y ) )
6710adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  U  =  ( Base `  C ) )
6867eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  -> 
( z  e.  U  <->  z  e.  ( Base `  C
) ) )
695ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  U  e.  V )
70 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  z  e.  U )
719ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  X  e.  U )
7212ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  Y  e.  U )
73 simprrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  g  e.  ( z (  Hom  `  C ) X ) )
746, 69, 2, 70, 71elsetchom 14238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C ) X )  <-> 
g : z --> X ) )
7573, 74mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  g :
z --> X )
7664ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  F : X
--> Y )
776, 69, 3, 70, 71, 72, 75, 76setcco 14240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( F
( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) g )  =  ( F  o.  g ) )
78 simprrr 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  h  e.  ( z (  Hom  `  C ) X ) )
796, 69, 2, 70, 71elsetchom 14238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( h  e.  ( z (  Hom  `  C ) X )  <-> 
h : z --> X ) )
8078, 79mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  h :
z --> X )
816, 69, 3, 70, 71, 72, 80, 76setcco 14240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( F
( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  =  ( F  o.  h ) )
8277, 81eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  <-> 
( F  o.  g
)  =  ( F  o.  h ) ) )
83 simplr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
84 cocan1 6026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  g : z --> X  /\  h : z --> X )  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( F  o.  h )  <->  g  =  h ) )
8583, 75, 80, 84syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( ( F  o.  g )  =  ( F  o.  h )  <->  g  =  h ) )
8685biimpd 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( ( F  o.  g )  =  ( F  o.  h )  ->  g  =  h ) )
8782, 86sylbid 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) )
8887anassrs 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  z  e.  U
)  /\  ( g  e.  ( z (  Hom  `  C ) X )  /\  h  e.  ( z (  Hom  `  C
) X ) ) )  ->  ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) )
8988ralrimivva 2800 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  z  e.  U )  ->  A. g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X ) A. h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) )
9089ex 425 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  -> 
( z  e.  U  ->  A. g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X ) A. h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
9168, 90sylbird 228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  -> 
( z  e.  (
Base `  C )  ->  A. g  e.  ( z (  Hom  `  C
) X ) A. h  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
9291ralrimiv 2790 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  A. z  e.  ( Base `  C ) A. g  e.  ( z
(  Hom  `  C ) X ) A. h  e.  ( z (  Hom  `  C ) X ) ( ( F (
<. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) h )  ->  g  =  h ) )
931, 2, 3, 4, 8, 11, 13ismon2 13962 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X (  Hom  `  C
) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C ) A. g  e.  ( z (  Hom  `  C ) X ) A. h  e.  ( z (  Hom  `  C
) X ) ( ( F ( <.
z ,  X >. (comp `  C ) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
9493adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  -> 
( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X (  Hom  `  C
) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C ) A. g  e.  ( z (  Hom  `  C ) X ) A. h  e.  ( z (  Hom  `  C
) X ) ( ( F ( <.
z ,  X >. (comp `  C ) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
9566, 92, 94mpbir2and 890 . 2  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  F  e.  ( X M Y ) )
9663, 95impbida 807 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
F : X -1-1-> Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {csn 3816   <.cop 3819    X. cxp 4878    o. ccom 4884    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471    Hom chom 13542  compcco 13543   Catccat 13891  Monocmon 13956   SetCatcsetc 14232
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-hom 13555  df-cco 13556  df-cat 13895  df-cid 13896  df-mon 13958  df-setc 14233
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