Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setinds Unicode version

Theorem setinds 24134
Description: Principle of  _E induction (set induction). If a property passes from all elements of  x to  x itself, then it holds for all  x. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
setinds.1  |-  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )
Assertion
Ref Expression
setinds  |-  ph
Distinct variable groups:    ph, y    x, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem setinds
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . 2  |-  x  e. 
_V
2 setind 7419 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  C_  { x  |  ph }  ->  z  e.  { x  |  ph } )  ->  { x  |  ph }  =  _V )
3 dfss3 3170 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  { x  | 
ph }  <->  A. y  e.  z  y  e.  { x  |  ph }
)
4 df-sbc 2992 . . . . . . . . 9  |-  ( [. y  /  x ]. ph  <->  y  e.  { x  |  ph }
)
54ralbii 2567 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  <->  A. y  e.  z  y  e.  { x  |  ph }
)
6 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
z
7 nfsbc1v 3010 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. y  /  x ]. ph
86, 7nfral 2596 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph
9 nfsbc1v 3010 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [. z  /  x ]. ph
108, 9nfim 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph )
11 raleq 2736 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  <->  A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph )
)
12 sbceq1a 3001 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<-> 
[. z  /  x ]. ph ) )
1311, 12imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  z 
[. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph ) ) )
14 setinds.1 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )
1510, 13, 14chvar 1926 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph )
165, 15sylbir 204 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  z  y  e.  { x  |  ph }  ->  [. z  /  x ]. ph )
173, 16sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  { x  | 
ph }  ->  [. z  /  x ]. ph )
18 df-sbc 2992 . . . . . 6  |-  ( [. z  /  x ]. ph  <->  z  e.  { x  |  ph }
)
1917, 18sylib 188 . . . . 5  |-  ( z 
C_  { x  | 
ph }  ->  z  e.  { x  |  ph } )
202, 19mpg 1535 . . . 4  |-  { x  |  ph }  =  _V
2120eqcomi 2287 . . 3  |-  _V  =  { x  |  ph }
2221abeq2i 2390 . 2  |-  ( x  e.  _V  <->  ph )
231, 22mpbi 199 1  |-  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991    C_ wss 3152
This theorem is referenced by:  setinds2f  24135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
  Copyright terms: Public domain W3C validator