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Theorem setscom 13176
Description: Component-setting is commutative when the x-values are different. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setscom.1  |-  A  e. 
_V
setscom.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
setscom  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. A ,  C >. ) sSet  <. B ,  D >. )  =  ( ( S sSet  <. B ,  D >. ) sSet  <. A ,  C >. ) )

Proof of Theorem setscom
StepHypRef Expression
1 rescom 4980 . . . . . 6  |-  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )
21uneq1i 3325 . . . . 5  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  |`  ( _V  \  { B }
) )  u.  { <. A ,  C >. } )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B }
) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  C >. } )
32uneq1i 3325 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  u.  { <. B ,  D >. } )
4 un23 3334 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  u.  { <. A ,  C >. } )
53, 4eqtri 2303 . . 3  |-  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  u.  { <. A ,  C >. } )
6 setsval 13172 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  C >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
76ad2ant2r 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( S sSet  <. A ,  C >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
87reseq1d 4954 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. A ,  C >. )  |`  ( _V  \  { B } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  |`  ( _V  \  { B }
) ) )
9 resundir 4970 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  C >. } )  |`  ( _V  \  { B } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  |`  ( _V  \  { B }
) )  u.  ( { <. A ,  C >. }  |`  ( _V  \  { B } ) ) )
10 setscom.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
11 elex 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  W  ->  C  e.  _V )
1211ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  C  e.  _V )
13 opelxpi 4721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  -> 
<. A ,  C >.  e.  ( _V  X.  _V ) )
1410, 12, 13sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  <. A ,  C >.  e.  ( _V  X.  _V ) )
15 opex 4237 . . . . . . . . . 10  |-  <. A ,  C >.  e.  _V
1615relsn 4790 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
{ <. A ,  C >. }  <->  <. A ,  C >.  e.  ( _V  X.  _V ) )
1714, 16sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  Rel  { <. A ,  C >. } )
18 dmsnopss 5145 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. A ,  C >. } 
C_  { A }
19 disjsn2 3694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
2019ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
21 disj2 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) 
<->  { A }  C_  ( _V  \  { B } ) )
2220, 21sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  { A }  C_  ( _V  \  { B }
) )
2318, 22syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  dom  { <. A ,  C >. }  C_  ( _V  \  { B } ) )
24 relssres 4992 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  { <. A ,  C >. }  /\  dom  {
<. A ,  C >. } 
C_  ( _V  \  { B } ) )  ->  ( { <. A ,  C >. }  |`  ( _V  \  { B }
) )  =  { <. A ,  C >. } )
2517, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( { <. A ,  C >. }  |`  ( _V  \  { B }
) )  =  { <. A ,  C >. } )
2625uneq2d 3329 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u.  ( { <. A ,  C >. }  |`  ( _V  \  { B }
) ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } ) )
279, 26syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  |`  ( _V  \  { B }
) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } ) )
288, 27eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. A ,  C >. )  |`  ( _V  \  { B } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } ) )
2928uneq1d 3328 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S sSet  <. A ,  C >. )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  =  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  u.  { <. B ,  D >. } ) )
30 setsval 13172 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  D  e.  X )  ->  ( S sSet  <. B ,  D >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { B }
) )  u.  { <. B ,  D >. } ) )
3130reseq1d 4954 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  D  e.  X )  ->  ( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  |`  ( _V  \  { A }
) ) )
3231ad2ant2rl 729 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  |`  ( _V  \  { A }
) ) )
33 resundir 4970 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B }
) )  u.  { <. B ,  D >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B }
) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  ( { <. B ,  D >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
34 setscom.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
_V
35 elex 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  X  ->  D  e.  _V )
3635ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  D  e.  _V )
37 opelxpi 4721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V )  -> 
<. B ,  D >.  e.  ( _V  X.  _V ) )
3834, 36, 37sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  <. B ,  D >.  e.  ( _V  X.  _V ) )
39 opex 4237 . . . . . . . . . 10  |-  <. B ,  D >.  e.  _V
4039relsn 4790 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
{ <. B ,  D >. }  <->  <. B ,  D >.  e.  ( _V  X.  _V ) )
4138, 40sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  Rel  { <. B ,  D >. } )
42 dmsnopss 5145 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. B ,  D >. } 
C_  { B }
43 ssv 3198 . . . . . . . . . . 11  |-  { A }  C_  _V
44 ssv 3198 . . . . . . . . . . 11  |-  { B }  C_  _V
45 ssconb 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { A }  C_  _V  /\  { B }  C_ 
_V )  ->  ( { A }  C_  ( _V  \  { B }
)  <->  { B }  C_  ( _V  \  { A } ) ) )
4643, 44, 45mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A }  C_  ( _V  \  { B }
)  <->  { B }  C_  ( _V  \  { A } ) )
4722, 46sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  { B }  C_  ( _V  \  { A }
) )
4842, 47syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  dom  { <. B ,  D >. }  C_  ( _V  \  { A } ) )
49 relssres 4992 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  { <. B ,  D >. }  /\  dom  {
<. B ,  D >. } 
C_  ( _V  \  { A } ) )  ->  ( { <. B ,  D >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  { <. B ,  D >. } )
5041, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( { <. B ,  D >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  { <. B ,  D >. } )
5150uneq2d 3329 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  ( { <. B ,  D >. }  |`  ( _V  \  { A }
) ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } ) )
5233, 51syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } ) )
5332, 52eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } ) )
5453uneq1d 3328 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  =  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
555, 29, 543eqtr4a 2341 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S sSet  <. A ,  C >. )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  =  ( ( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } ) )
56 ovex 5883 . . 3  |-  ( S sSet  <. A ,  C >. )  e.  _V
57 simprr 733 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  D  e.  X )
58 setsval 13172 . . 3  |-  ( ( ( S sSet  <. A ,  C >. )  e.  _V  /\  D  e.  X )  ->  ( ( S sSet  <. A ,  C >. ) sSet  <. B ,  D >. )  =  ( ( ( S sSet  <. A ,  C >. )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u.  { <. B ,  D >. } ) )
5956, 57, 58sylancr 644 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. A ,  C >. ) sSet  <. B ,  D >. )  =  ( ( ( S sSet  <. A ,  C >. )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u.  { <. B ,  D >. } ) )
60 ovex 5883 . . 3  |-  ( S sSet  <. B ,  D >. )  e.  _V
61 simprl 732 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  C  e.  W )
62 setsval 13172 . . 3  |-  ( ( ( S sSet  <. B ,  D >. )  e.  _V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( S sSet  <. B ,  D >. ) sSet  <. A ,  C >. )  =  ( ( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
6360, 61, 62sylancr 644 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. B ,  D >. ) sSet  <. A ,  C >. )  =  ( ( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
6455, 59, 633eqtr4d 2325 1  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. A ,  C >. ) sSet  <. B ,  D >. )  =  ( ( S sSet  <. B ,  D >. ) sSet  <. A ,  C >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643    X. cxp 4687   dom cdm 4689    |` cres 4691   Rel wrel 4694  (class class class)co 5858   sSet csts 13146
This theorem is referenced by:  rescabs  13710  mgpress  15336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-sets 13154
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