MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsms Unicode version

Theorem setsms 18042
Description: The constructed metric space is a metric space iff the provided distance function is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
setsms.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
Assertion
Ref Expression
setsms  |-  ( ph  ->  ( K  e.  MetSp  <->  D  e.  ( Met `  X
) ) )

Proof of Theorem setsms
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
2 setsms.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
3 setsms.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
4 setsms.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
51, 2, 3, 4setsxms 18041 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  * MetSp  <-> 
D  e.  ( * Met `  X ) ) )
61, 2, 3setsmsds 18038 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )
71, 2, 3setsmsbas 18037 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )
87, 7xpeq12d 4730 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  =  ( (
Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
96, 8reseq12d 4972 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) )  =  ( ( dist `  K
)  |`  ( ( Base `  K )  X.  ( Base `  K ) ) ) )
102, 9eqtr2d 2329 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  K
)  |`  ( ( Base `  K )  X.  ( Base `  K ) ) )  =  D )
117fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Met `  X
)  =  ( Met `  ( Base `  K
) ) )
1211eqcomd 2301 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Met `  ( Base `  K ) )  =  ( Met `  X
) )
1310, 12eleq12d 2364 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) )  <-> 
D  e.  ( Met `  X ) ) )
145, 13anbi12d 691 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
* MetSp  /\  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) )  <->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( Met `  X ) ) ) )
15 eqid 2296 . . 3  |-  ( TopOpen `  K )  =  (
TopOpen `  K )
16 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
17 eqid 2296 . . 3  |-  ( (
dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  =  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
1815, 16, 17isms 18011 . 2  |-  ( K  e.  MetSp 
<->  ( K  e.  * MetSp  /\  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) ) )
19 metxmet 17915 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2019pm4.71ri 614 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( Met `  X ) ) )
2114, 18, 203bitr4g 279 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  MetSp  <->  D  e.  ( Met `  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cop 3656    X. cxp 4703    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ndxcnx 13161   sSet csts 13162   Basecbs 13164  TopSetcts 13230   distcds 13233   TopOpenctopn 13342   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   MetOpencmopn 16388   *
MetSpcxme 17898   MetSpcmt 17899
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-tset 13243  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902
  Copyright terms: Public domain W3C validator