MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmsds Unicode version

Theorem setsmsds 18389
Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
Assertion
Ref Expression
setsmsds  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )

Proof of Theorem setsmsds
StepHypRef Expression
1 setsms.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
21fveq2d 5665 . 2  |-  ( ph  ->  ( dist `  K
)  =  ( dist `  ( M sSet  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
MetOpen `  D ) >.
) ) )
3 dsid 13551 . . 3  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
4 9re 10004 . . . . 5  |-  9  e.  RR
5 1nn 9936 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
6 2nn0 10163 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
7 9nn0 10170 . . . . . 6  |-  9  e.  NN0
8 9lt10 10103 . . . . . 6  |-  9  <  10
95, 6, 7, 8declti 10332 . . . . 5  |-  9  < ; 1
2
104, 9gtneii 9109 . . . 4  |- ; 1 2  =/=  9
11 dsndx 13550 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
12 tsetndx 13534 . . . . 5  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
1311, 12neeq12i 2555 . . . 4  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )  <-> ; 1 2  =/=  9
)
1410, 13mpbir 201 . . 3  |-  ( dist `  ndx )  =/=  (TopSet ` 
ndx )
153, 14setsnid 13429 . 2  |-  ( dist `  M )  =  (
dist `  ( M sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
162, 15syl6reqr 2431 1  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    =/= wne 2543   <.cop 3753    X. cxp 4809    |` cres 4813   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   1c1 8917   2c2 9974   9c9 9981  ;cdc 10307   ndxcnx 13386   sSet csts 13387   Basecbs 13389  TopSetcts 13455   distcds 13458   MetOpencmopn 16610
This theorem is referenced by:  setsxms  18392  setsms  18393  tmslem  18395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-sets 13395  df-tset 13468  df-ds 13471
  Copyright terms: Public domain W3C validator