MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmsds Structured version   Unicode version

Theorem setsmsds 18499
Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
Assertion
Ref Expression
setsmsds  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )

Proof of Theorem setsmsds
StepHypRef Expression
1 setsms.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
21fveq2d 5725 . 2  |-  ( ph  ->  ( dist `  K
)  =  ( dist `  ( M sSet  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
MetOpen `  D ) >.
) ) )
3 dsid 13624 . . 3  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
4 9re 10072 . . . . 5  |-  9  e.  RR
5 1nn 10004 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
6 2nn0 10231 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
7 9nn0 10238 . . . . . 6  |-  9  e.  NN0
8 9lt10 10171 . . . . . 6  |-  9  <  10
95, 6, 7, 8declti 10400 . . . . 5  |-  9  < ; 1
2
104, 9gtneii 9178 . . . 4  |- ; 1 2  =/=  9
11 dsndx 13623 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
12 tsetndx 13607 . . . . 5  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
1311, 12neeq12i 2611 . . . 4  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )  <-> ; 1 2  =/=  9
)
1410, 13mpbir 201 . . 3  |-  ( dist `  ndx )  =/=  (TopSet ` 
ndx )
153, 14setsnid 13502 . 2  |-  ( dist `  M )  =  (
dist `  ( M sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
162, 15syl6reqr 2487 1  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    =/= wne 2599   <.cop 3810    X. cxp 4869    |` cres 4873   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   1c1 8984   2c2 10042   9c9 10049  ;cdc 10375   ndxcnx 13459   sSet csts 13460   Basecbs 13462  TopSetcts 13528   distcds 13531   MetOpencmopn 16684
This theorem is referenced by:  setsxms  18502  setsms  18503  tmslem  18505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-sets 13468  df-tset 13541  df-ds 13544
  Copyright terms: Public domain W3C validator