MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstopn Structured version   Unicode version

Theorem setsmstopn 18500
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
setsms.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
Assertion
Ref Expression
setsmstopn  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  K
) )

Proof of Theorem setsmstopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
2 setsms.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
3 setsms.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
4 setsms.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
51, 2, 3, 4setsmstset 18499 . 2  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  (TopSet `  K )
)
6 df-mopn 16690 . . . . . . . 8  |-  MetOpen  =  ( x  e.  U. ran  * Met  |->  ( topGen `  ran  ( ball `  x )
) )
76dmmptss 5358 . . . . . . 7  |-  dom  MetOpen  C_  U. ran  * Met
87sseli 3336 . . . . . 6  |-  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  D  e.  U. ran  * Met )
9 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  D  e.  U. ran  * Met )
10 xmetunirn 18359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )
119, 10sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D
) )
12 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
1312mopnuni 18463 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met ` 
dom  dom  D )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
1411, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
152dmeqd 5064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  D  =  dom  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) ) )
16 dmres 5159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
( dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( X  X.  X
)  i^i  dom  ( dist `  M ) )
1715, 16syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  D  =  ( ( X  X.  X
)  i^i  dom  ( dist `  M ) ) )
18 inss1 3553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  X.  X )  i^i  dom  ( dist `  M ) )  C_  ( X  X.  X
)
1917, 18syl6eqss 3390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  D  C_  ( X  X.  X ) )
20 dmss 5061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
D  C_  ( X  X.  X )  ->  dom  dom 
D  C_  dom  ( X  X.  X ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  dom  D  C_  dom  ( X  X.  X
) )
22 dmxpid 5081 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
2321, 22syl6sseq 3386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  dom  D  C_  X
)
2423adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  dom  D  C_  X
)
2514, 24eqsstr3d 3375 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  U. ( MetOpen `  D )  C_  X )
26 sspwuni 4168 . . . . . . . 8  |-  ( (
MetOpen `  D )  C_  ~P X  <->  U. ( MetOpen `  D
)  C_  X )
2725, 26sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  -> 
( MetOpen `  D )  C_ 
~P X )
2827ex 424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  e.  U. ran  * Met  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P X ) )
298, 28syl5 30 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P X ) )
30 ndmfv 5747 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  =  (/) )
31 0ss 3648 . . . . . 6  |-  (/)  C_  ~P X
3230, 31syl6eqss 3390 . . . . 5  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P X )
3329, 32pm2.61d1 153 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P X )
341, 2, 3setsmsbas 18497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )
3534pweqd 3796 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P X  =  ~P ( Base `  K )
)
3633, 5, 353sstr3d 3382 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  K )  C_ 
~P ( Base `  K
) )
37 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
38 eqid 2435 . . . 4  |-  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  K )
3937, 38topnid 13655 . . 3  |-  ( (TopSet `  K )  C_  ~P ( Base `  K )  ->  (TopSet `  K )  =  ( TopOpen `  K
) )
4036, 39syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  K )  =  ( TopOpen `  K
) )
415, 40eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   <.cop 3809   U.cuni 4007    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871    |` cres 4872   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ndxcnx 13458   sSet csts 13459   Basecbs 13461  TopSetcts 13527   distcds 13530   TopOpenctopn 13641   topGenctg 13657   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680   MetOpencmopn 16683
This theorem is referenced by:  setsxms  18501  tmslem  18504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-tset 13540  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958
  Copyright terms: Public domain W3C validator