MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstopn Structured version   Unicode version

Theorem setsmstopn 18513
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
setsms.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
Assertion
Ref Expression
setsmstopn  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  K
) )

Proof of Theorem setsmstopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
2 setsms.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
3 setsms.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
4 setsms.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
51, 2, 3, 4setsmstset 18512 . 2  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  (TopSet `  K )
)
6 df-mopn 16703 . . . . . . . 8  |-  MetOpen  =  ( x  e.  U. ran  * Met  |->  ( topGen `  ran  ( ball `  x )
) )
76dmmptss 5369 . . . . . . 7  |-  dom  MetOpen  C_  U. ran  * Met
87sseli 3346 . . . . . 6  |-  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  D  e.  U. ran  * Met )
9 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  D  e.  U. ran  * Met )
10 xmetunirn 18372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )
119, 10sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D
) )
12 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
1312mopnuni 18476 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met ` 
dom  dom  D )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
1411, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
152dmeqd 5075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  D  =  dom  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) ) )
16 dmres 5170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
( dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( X  X.  X
)  i^i  dom  ( dist `  M ) )
1715, 16syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  D  =  ( ( X  X.  X
)  i^i  dom  ( dist `  M ) ) )
18 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  X.  X )  i^i  dom  ( dist `  M ) )  C_  ( X  X.  X
)
1917, 18syl6eqss 3400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  D  C_  ( X  X.  X ) )
20 dmss 5072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
D  C_  ( X  X.  X )  ->  dom  dom 
D  C_  dom  ( X  X.  X ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  dom  D  C_  dom  ( X  X.  X
) )
22 dmxpid 5092 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
2321, 22syl6sseq 3396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  dom  D  C_  X
)
2423adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  dom  D  C_  X
)
2514, 24eqsstr3d 3385 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  U. ( MetOpen `  D )  C_  X )
26 sspwuni 4179 . . . . . . . 8  |-  ( (
MetOpen `  D )  C_  ~P X  <->  U. ( MetOpen `  D
)  C_  X )
2725, 26sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  -> 
( MetOpen `  D )  C_ 
~P X )
2827ex 425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  e.  U. ran  * Met  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P X ) )
298, 28syl5 31 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P X ) )
30 ndmfv 5758 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  =  (/) )
31 0ss 3658 . . . . . 6  |-  (/)  C_  ~P X
3230, 31syl6eqss 3400 . . . . 5  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P X )
3329, 32pm2.61d1 154 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P X )
341, 2, 3setsmsbas 18510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )
3534pweqd 3806 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P X  =  ~P ( Base `  K )
)
3633, 5, 353sstr3d 3392 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  K )  C_ 
~P ( Base `  K
) )
37 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
38 eqid 2438 . . . 4  |-  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  K )
3937, 38topnid 13668 . . 3  |-  ( (TopSet `  K )  C_  ~P ( Base `  K )  ->  (TopSet `  K )  =  ( TopOpen `  K
) )
4036, 39syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  K )  =  ( TopOpen `  K
) )
415, 40eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   <.cop 3819   U.cuni 4017    X. cxp 4879   dom cdm 4881   ran crn 4882    |` cres 4883   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ndxcnx 13471   sSet csts 13472   Basecbs 13474  TopSetcts 13540   distcds 13543   TopOpenctopn 13654   topGenctg 13670   * Metcxmt 16691   ballcbl 16693   MetOpencmopn 16696
This theorem is referenced by:  setsxms  18514  tmslem  18517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-tset 13553  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971
  Copyright terms: Public domain W3C validator