MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstopn Unicode version

Theorem setsmstopn 18399
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
setsms.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
Assertion
Ref Expression
setsmstopn  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  K
) )

Proof of Theorem setsmstopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
2 setsms.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
3 setsms.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
4 setsms.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
51, 2, 3, 4setsmstset 18398 . 2  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  (TopSet `  K )
)
6 df-mopn 16623 . . . . . . . 8  |-  MetOpen  =  ( x  e.  U. ran  * Met  |->  ( topGen `  ran  ( ball `  x )
) )
76dmmptss 5307 . . . . . . 7  |-  dom  MetOpen  C_  U. ran  * Met
87sseli 3288 . . . . . 6  |-  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  D  e.  U. ran  * Met )
9 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  D  e.  U. ran  * Met )
10 xmetunirn 18277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )
119, 10sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D
) )
12 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
1312mopnuni 18362 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met ` 
dom  dom  D )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
1411, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
152dmeqd 5013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  D  =  dom  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) ) )
16 dmres 5108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
( dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( X  X.  X
)  i^i  dom  ( dist `  M ) )
1715, 16syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  D  =  ( ( X  X.  X
)  i^i  dom  ( dist `  M ) ) )
18 inss1 3505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  X.  X )  i^i  dom  ( dist `  M ) )  C_  ( X  X.  X
)
1917, 18syl6eqss 3342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  D  C_  ( X  X.  X ) )
20 dmss 5010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
D  C_  ( X  X.  X )  ->  dom  dom 
D  C_  dom  ( X  X.  X ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  dom  D  C_  dom  ( X  X.  X
) )
22 dmxpid 5030 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
2321, 22syl6sseq 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  dom  D  C_  X
)
2423adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  dom  D  C_  X
)
2514, 24eqsstr3d 3327 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  U. ( MetOpen `  D )  C_  X )
26 sspwuni 4118 . . . . . . . 8  |-  ( (
MetOpen `  D )  C_  ~P X  <->  U. ( MetOpen `  D
)  C_  X )
2725, 26sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  -> 
( MetOpen `  D )  C_ 
~P X )
2827ex 424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  e.  U. ran  * Met  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P X ) )
298, 28syl5 30 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P X ) )
30 ndmfv 5696 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  =  (/) )
31 0ss 3600 . . . . . 6  |-  (/)  C_  ~P X
3230, 31syl6eqss 3342 . . . . 5  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P X )
3329, 32pm2.61d1 153 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P X )
341, 2, 3setsmsbas 18396 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )
3534pweqd 3748 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P X  =  ~P ( Base `  K )
)
3633, 5, 353sstr3d 3334 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  K )  C_ 
~P ( Base `  K
) )
37 eqid 2388 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
38 eqid 2388 . . . 4  |-  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  K )
3937, 38topnid 13591 . . 3  |-  ( (TopSet `  K )  C_  ~P ( Base `  K )  ->  (TopSet `  K )  =  ( TopOpen `  K
) )
4036, 39syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  K )  =  ( TopOpen `  K
) )
415, 40eqtrd 2420 1  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   ~Pcpw 3743   <.cop 3761   U.cuni 3958    X. cxp 4817   dom cdm 4819   ran crn 4820    |` cres 4821   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   ndxcnx 13394   sSet csts 13395   Basecbs 13397  TopSetcts 13463   distcds 13466   TopOpenctopn 13577   topGenctg 13593   * Metcxmt 16613   ballcbl 16615   MetOpencmopn 16618
This theorem is referenced by:  setsxms  18400  tmslem  18403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-tset 13476  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-xmet 16620  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890
  Copyright terms: Public domain W3C validator