MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstset Unicode version

Theorem setsmstset 18023
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
setsms.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
Assertion
Ref Expression
setsmstset  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  (TopSet `  K )
)

Proof of Theorem setsmstset
StepHypRef Expression
1 setsms.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
2 fvex 5539 . . 3  |-  ( MetOpen `  D )  e.  _V
3 tsetid 13294 . . . 4  |- TopSet  = Slot  (TopSet ` 
ndx )
43setsid 13187 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  ( MetOpen `  D )  e.  _V )  ->  ( MetOpen
`  D )  =  (TopSet `  ( M sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) ) )
51, 2, 4sylancl 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  (TopSet `  ( M sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) ) )
6 setsms.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
76fveq2d 5529 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  ( M sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) ) )
85, 7eqtr4d 2318 1  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  (TopSet `  K )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   <.cop 3643    X. cxp 4687    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ndxcnx 13145   sSet csts 13146   Basecbs 13148  TopSetcts 13214   distcds 13217   MetOpencmopn 16372
This theorem is referenced by:  setsmstopn  18024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-sets 13154  df-tset 13227
  Copyright terms: Public domain W3C validator