MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsres Structured version   Unicode version

Theorem setsres 13497
Description: The structure replacement function does not affect the value of  S away from  A. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
setsres  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )

Proof of Theorem setsres
StepHypRef Expression
1 opex 4429 . . . 4  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2 setsvalg 13494 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
31, 2mpan2 654 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
43reseq1d 5147 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
5 resundir 5163 . . 3  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
6 dmsnopss 5344 . . . . . . 7  |-  dom  { <. A ,  B >. } 
C_  { A }
7 sscon 3483 . . . . . . 7  |-  ( dom 
{ <. A ,  B >. }  C_  { A }  ->  ( _V  \  { A } )  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( _V 
\  { A }
)  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )
9 resabs1 5177 . . . . . 6  |-  ( ( _V  \  { A } )  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
108, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )
11 dmres 5169 . . . . . . 7  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )
12 disj2 3677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )  =  (/)  <->  ( _V  \  { A } ) 
C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )
138, 12mpbir 202 . . . . . . 7  |-  ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )  =  (/)
1411, 13eqtri 2458 . . . . . 6  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/)
15 relres 5176 . . . . . . 7  |-  Rel  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )
16 reldm0 5089 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  ->  (
( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/) ) )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/)  <->  dom  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/) )
1814, 17mpbir 202 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/)
1910, 18uneq12i 3501 . . . 4  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  (/) )
20 un0 3654 . . . 4  |-  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  (/) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )
2119, 20eqtri 2458 . . 3  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )
225, 21eqtri 2458 . 2  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )
234, 22syl6eq 2486 1  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   <.cop 3819   dom cdm 4880    |` cres 4882   Rel wrel 4885  (class class class)co 6083   sSet csts 13469
This theorem is referenced by:  setsabs  13498  setsnid  13511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-res 4892  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-sets 13477
  Copyright terms: Public domain W3C validator