MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsxms Structured version   Unicode version

Theorem setsxms 18511
Description: The constructed metric space is a metric space iff the provided distance function is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
setsms.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
Assertion
Ref Expression
setsxms  |-  ( ph  ->  ( K  e.  * MetSp  <-> 
D  e.  ( * Met `  X ) ) )

Proof of Theorem setsxms
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
2 setsms.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
3 setsms.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
4 setsms.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
51, 2, 3, 4setsmstopn 18510 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  K
) )
61, 2, 3setsmsds 18508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )
71, 2, 3setsmsbas 18507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )
87, 7xpeq12d 4905 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  =  ( (
Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
96, 8reseq12d 5149 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) )  =  ( ( dist `  K
)  |`  ( ( Base `  K )  X.  ( Base `  K ) ) ) )
102, 9eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) ) )
1110fveq2d 5734 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( MetOpen `  (
( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) ) ) )
125, 11eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  K )  =  ( MetOpen `  (
( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) ) ) )
13 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  K )  =  (
TopOpen `  K )
14 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
15 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( (
dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  =  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
1613, 14, 15isxms2 18480 . . . 4  |-  ( K  e.  * MetSp  <->  ( (
( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  K
) )  /\  ( TopOpen
`  K )  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
1716rbaib 875 . . 3  |-  ( (
TopOpen `  K )  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) ) )  ->  ( K  e.  * MetSp  <->  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  K ) ) ) )
1812, 17syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  * MetSp  <-> 
( ( dist `  K
)  |`  ( ( Base `  K )  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  K ) ) ) )
197fveq2d 5734 . . 3  |-  ( ph  ->  ( * Met `  X
)  =  ( * Met `  ( Base `  K ) ) )
2010, 19eleq12d 2506 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  <->  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  K ) ) ) )
2118, 20bitr4d 249 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  * MetSp  <-> 
D  e.  ( * Met `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   <.cop 3819    X. cxp 4878    |` cres 4882   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ndxcnx 13468   sSet csts 13469   Basecbs 13471  TopSetcts 13537   distcds 13540   TopOpenctopn 13651   * Metcxmt 16688   MetOpencmopn 16693   *
MetSpcxme 18349
This theorem is referenced by:  setsms  18512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-tset 13550  df-ds 13553  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-xms 18352
  Copyright terms: Public domain W3C validator