MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmppw Unicode version

Theorem sgmppw 20436
Description: The value of the divisor function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sgmppw  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  sigma  ( P ^ N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( P  ^ c  A ) ^ k
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    P, k

Proof of Theorem sgmppw
Dummy variables  i  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
2 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  P  e.  Prime )
3 prmnn 12761 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  P  e.  NN )
5 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
64, 5nnexpcld 11266 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P ^ N )  e.  NN )
7 sgmval 20380 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( P ^ N )  e.  NN )  -> 
( A  sigma  ( P ^ N ) )  =  sum_ n  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) }  (
n  ^ c  A
) )
81, 6, 7syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  sigma  ( P ^ N ) )  = 
sum_ n  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) }  ( n  ^ c  A ) )
9 oveq1 5865 . . 3  |-  ( n  =  ( P ^
k )  ->  (
n  ^ c  A
)  =  ( ( P ^ k )  ^ c  A ) )
10 fzfid 11035 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0 ... N )  e. 
Fin )
11 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( 0 ... N )  |->  ( P ^ i ) )  =  ( i  e.  ( 0 ... N
)  |->  ( P ^
i ) )
1211dvdsppwf1o 20426 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  ( 0 ... N )  |->  ( P ^ i ) ) : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) } )
132, 5, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  ( 0 ... N )  |->  ( P ^ i ) ) : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) } )
14 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( i  =  k  ->  ( P ^ i )  =  ( P ^ k
) )
15 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( P ^ k )  e. 
_V
1614, 11, 15fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( i  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( P ^ i
) ) `  k
)  =  ( P ^ k ) )
1716adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( i  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( P ^ i
) ) `  k
)  =  ( P ^ k ) )
18 ssrab2 3258 . . . . . 6  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) }  C_  NN
1918sseli 3176 . . . . 5  |-  ( n  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) }  ->  n  e.  NN )
2019nncnd 9762 . . . 4  |-  ( n  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) }  ->  n  e.  CC )
21 cxpcl 20021 . . . 4  |-  ( ( n  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( n  ^ c  A )  e.  CC )
2220, 1, 21syl2anr 464 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) } )  ->  ( n  ^ c  A )  e.  CC )
239, 10, 13, 17, 22fsumf1o 12196 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) }  ( n  ^ c  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( P ^ k
)  ^ c  A
) )
24 elfznn0 10822 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
2524adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
2625nn0cnd 10020 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
271adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
2826, 27mulcomd 8856 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
k  x.  A )  =  ( A  x.  k ) )
2928oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( P  ^ c  ( k  x.  A ) )  =  ( P  ^ c  ( A  x.  k ) ) )
304adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  P  e.  NN )
3130nnrpd 10389 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  P  e.  RR+ )
3225nn0red 10019 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
3331, 32, 27cxpmuld 20081 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( P  ^ c  ( k  x.  A ) )  =  ( ( P  ^ c  k )  ^ c  A ) )
3430nncnd 9762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  P  e.  CC )
35 cxpexp 20015 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( P  ^ c 
k )  =  ( P ^ k ) )
3634, 25, 35syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( P  ^ c  k )  =  ( P ^
k ) )
3736oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( P  ^ c 
k )  ^ c  A )  =  ( ( P ^ k
)  ^ c  A
) )
3833, 37eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( P  ^ c  ( k  x.  A ) )  =  ( ( P ^ k )  ^ c  A ) )
3934, 27, 25cxpmul2d 20056 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( P  ^ c  ( A  x.  k ) )  =  ( ( P  ^ c  A ) ^ k ) )
4029, 38, 393eqtr3d 2323 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( P ^ k
)  ^ c  A
)  =  ( ( P  ^ c  A
) ^ k ) )
4140sumeq2dv 12176 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( P ^ k )  ^ c  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( P  ^ c  A ) ^ k
) )
428, 23, 413eqtrd 2319 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  sigma  ( P ^ N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( P  ^ c  A ) ^ k
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    x. cmul 8742   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ...cfz 10782   ^cexp 11104   sum_csu 12158    || cdivides 12531   Primecprime 12758    ^ c ccxp 19913    sigma csgm 20333
This theorem is referenced by:  1sgmprm  20438  1sgm2ppw  20439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-sgm 20339
  Copyright terms: Public domain W3C validator