MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmss Structured version   Unicode version

Theorem sgmss 20879
Description: The set of divisors of a number is a subset of a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
sgmss  |-  ( A  e.  NN  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  A }  C_  ( 1 ... A ) )
Distinct variable group:    A, p

Proof of Theorem sgmss
StepHypRef Expression
1 nnz 10293 . . . . 5  |-  ( p  e.  NN  ->  p  e.  ZZ )
2 id 20 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN )
3 dvdsle 12885 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( p  ||  A  ->  p  <_  A )
)
41, 2, 3syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  ( p  ||  A  ->  p  <_  A )
)
5 ibar 491 . . . . . 6  |-  ( p  e.  NN  ->  (
p  <_  A  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_  A ) ) )
65adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  ( p  <_  A  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_  A ) ) )
7 nnz 10293 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
87adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
9 fznn 11105 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( 1 ... A )  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_  A ) ) )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  ( p  e.  ( 1 ... A )  <-> 
( p  e.  NN  /\  p  <_  A )
) )
116, 10bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  ( p  <_  A  <->  p  e.  ( 1 ... A ) ) )
124, 11sylibd 206 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  ( p  ||  A  ->  p  e.  ( 1 ... A ) ) )
1312ralrimiva 2781 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A. p  e.  NN  ( p  ||  A  ->  p  e.  ( 1 ... A ) ) )
14 rabss 3412 . 2  |-  ( { p  e.  NN  |  p  ||  A }  C_  ( 1 ... A
)  <->  A. p  e.  NN  ( p  ||  A  ->  p  e.  ( 1 ... A ) ) )
1513, 14sylibr 204 1  |-  ( A  e.  NN  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  A }  C_  ( 1 ... A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701    C_ wss 3312   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   1c1 8981    <_ cle 9111   NNcn 9990   ZZcz 10272   ...cfz 11033    || cdivides 12842
This theorem is referenced by:  prmdvdsfi  20880  0sgm  20917  sgmf  20918  sgmnncl  20920  mumul  20954  sqff1o  20955  fsumdvdsdiag  20959  fsumdvdscom  20960  dvdsflsumcom  20963  musum  20966  musumsum  20967  muinv  20968  fsumdvdsmul  20970  vmasum  20990  perfectlem2  21004  dchrvmasumlem1  21179  dchrisum0ff  21191  dchrisum0  21204  vmalogdivsum2  21222  logsqvma  21226  logsqvma2  21227  selberg  21232  selberg34r  21255  pntsval2  21260  pntrlog2bndlem1  21261  phisum  27450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-dvds 12843
  Copyright terms: Public domain W3C validator