MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmval Unicode version

Theorem sgmval 20793
Description: The value of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k  ^ c  A
) )
Distinct variable groups:    k, p, A    B, k, p

Proof of Theorem sgmval
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  n  =  B )
21breq2d 4166 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  ( p  ||  n  <->  p 
||  B ) )
32rabbidv 2892 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  n }  =  { p  e.  NN  |  p  ||  B }
)
4 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  /\  k  e. 
{ p  e.  NN  |  p  ||  n }
)  ->  x  =  A )
54oveq2d 6037 . . 3  |-  ( ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  /\  k  e. 
{ p  e.  NN  |  p  ||  n }
)  ->  ( k  ^ c  x )  =  ( k  ^ c  A ) )
63, 5sumeq12dv 12428 . 2  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  -> 
sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  n }  (
k  ^ c  x )  =  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  B } 
( k  ^ c  A ) )
7 df-sgm 20752 . 2  |-  sigma  =  ( x  e.  CC ,  n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  n } 
( k  ^ c  x ) )
8 sumex 12409 . 2  |-  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  B } 
( k  ^ c  A )  e.  _V
96, 7, 8ovmpt2a 6144 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k  ^ c  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2654   class class class wbr 4154  (class class class)co 6021   CCcc 8922   NNcn 9933   sum_csu 12407    || cdivides 12780    ^ c ccxp 20321    sigma csgm 20746
This theorem is referenced by:  sgmval2  20794  sgmppw  20849  sgmmul  20853  perfectlem2  20882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-seq 11252  df-sum 12408  df-sgm 20752
  Copyright terms: Public domain W3C validator