MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmval Structured version   Unicode version

Theorem sgmval 20917
Description: The value of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k  ^ c  A
) )
Distinct variable groups:    k, p, A    B, k, p

Proof of Theorem sgmval
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  n  =  B )
21breq2d 4216 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  ( p  ||  n  <->  p 
||  B ) )
32rabbidv 2940 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  n }  =  { p  e.  NN  |  p  ||  B }
)
4 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  /\  k  e. 
{ p  e.  NN  |  p  ||  n }
)  ->  x  =  A )
54oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  /\  k  e. 
{ p  e.  NN  |  p  ||  n }
)  ->  ( k  ^ c  x )  =  ( k  ^ c  A ) )
63, 5sumeq12dv 12492 . 2  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  -> 
sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  n }  (
k  ^ c  x )  =  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  B } 
( k  ^ c  A ) )
7 df-sgm 20876 . 2  |-  sigma  =  ( x  e.  CC ,  n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  n } 
( k  ^ c  x ) )
8 sumex 12473 . 2  |-  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  B } 
( k  ^ c  A )  e.  _V
96, 7, 8ovmpt2a 6196 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k  ^ c  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   CCcc 8980   NNcn 9992   sum_csu 12471    || cdivides 12844    ^ c ccxp 20445    sigma csgm 20870
This theorem is referenced by:  sgmval2  20918  sgmppw  20973  sgmmul  20977  perfectlem2  21006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-sum 12472  df-sgm 20876
  Copyright terms: Public domain W3C validator