MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmval Unicode version

Theorem sgmval 20380
Description: The value of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k  ^ c  A
) )
Distinct variable groups:    k, p, A    B, k, p

Proof of Theorem sgmval
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  n  =  B )
21breq2d 4035 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  ( p  ||  n  <->  p 
||  B ) )
32rabbidv 2780 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  n }  =  { p  e.  NN  |  p  ||  B }
)
4 simpll 730 . . . 4  |-  ( ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  /\  k  e. 
{ p  e.  NN  |  p  ||  n }
)  ->  x  =  A )
54oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  /\  k  e. 
{ p  e.  NN  |  p  ||  n }
)  ->  ( k  ^ c  x )  =  ( k  ^ c  A ) )
63, 5sumeq12dv 12179 . 2  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  -> 
sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  n }  (
k  ^ c  x )  =  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  B } 
( k  ^ c  A ) )
7 df-sgm 20339 . 2  |-  sigma  =  ( x  e.  CC ,  n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  n } 
( k  ^ c  x ) )
8 sumex 12160 . 2  |-  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  B } 
( k  ^ c  A )  e.  _V
96, 7, 8ovmpt2a 5978 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k  ^ c  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   NNcn 9746   sum_csu 12158    || cdivides 12531    ^ c ccxp 19913    sigma csgm 20333
This theorem is referenced by:  sgmval2  20381  sgmppw  20436  sgmmul  20440  perfectlem2  20469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-sum 12159  df-sgm 20339
  Copyright terms: Public domain W3C validator