Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnn Structured version   Unicode version

Theorem sgnn 28586
Description: Proof that signum of negative extended real is -1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgnn  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <  0 )  ->  (sgn `  A )  =  -u
1 )

Proof of Theorem sgnn
StepHypRef Expression
1 sgnval 28580 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  (sgn `  A )  =  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) ) )
21adantr 453 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <  0 )  ->  (sgn `  A )  =  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) ) )
3 0xr 9133 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
4 xrltne 10755 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  A  <  0 )  ->  0  =/=  A )
53, 4mp3an2 1268 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <  0 )  ->  0  =/=  A )
6 necom 2687 . . . . 5  |-  ( 0  =/=  A  <->  A  =/=  0 )
7 df-ne 2603 . . . . 5  |-  ( A  =/=  0  <->  -.  A  =  0 )
86, 7bitri 242 . . . 4  |-  ( 0  =/=  A  <->  -.  A  =  0 )
95, 8sylib 190 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <  0 )  ->  -.  A  =  0 )
10 iffalse 3748 . . 3  |-  ( -.  A  =  0  ->  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )  =  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <  0 )  ->  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )  =  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )
12 iftrue 3747 . . 3  |-  ( A  <  0  ->  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 )  =  -u 1
)
1312adantl 454 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <  0 )  ->  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 )  =  -u 1
)
142, 11, 133eqtrd 2474 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <  0 )  ->  (sgn `  A )  =  -u
1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   ifcif 3741   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   0cc0 8992   1c1 8993   RR*cxr 9121    < clt 9122   -ucneg 9294  sgncsgn 28578
This theorem is referenced by:  sgnmnf  28587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-neg 9296  df-sgn 28579
  Copyright terms: Public domain W3C validator