Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnp Structured version   Unicode version

Theorem sgnp 28457
Description: Proof that signum of positive extended real is 1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgnp  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  (sgn `  A )  =  1 )

Proof of Theorem sgnp
StepHypRef Expression
1 sgnval 28455 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  (sgn `  A )  =  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) ) )
21adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  (sgn `  A )  =  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) ) )
3 0xr 9123 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
4 xrltne 10745 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  0  < 
A )  ->  A  =/=  0 )
53, 4mp3an1 1266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
65neneqd 2614 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  -.  A  =  0 )
7 iffalse 3738 . . 3  |-  ( -.  A  =  0  ->  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )  =  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )  =  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )
9 xrltnsym 10722 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
0  <  A  ->  -.  A  <  0 ) )
103, 9mpan 652 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <  A  ->  -.  A  <  0 ) )
1110imp 419 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  -.  A  <  0 )
12 iffalse 3738 . . 3  |-  ( -.  A  <  0  ->  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 )  =  1 )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 )  =  1 )
142, 8, 133eqtrd 2471 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  (sgn `  A )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   ifcif 3731   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   0cc0 8982   1c1 8983   RR*cxr 9111    < clt 9112   -ucneg 9284  sgncsgn 28453
This theorem is referenced by:  sgnrrp  28458  sgn1  28459  sgnpnf  28460
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-neg 9286  df-sgn 28454
  Copyright terms: Public domain W3C validator