Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sharhght Unicode version

Theorem sharhght 27958
 Description: Let be a triangle, and let lie on the line . Then (doubled) areas of triangles and relate as lengths of corresponding bases and . (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sharhght.sigar
sharhght.a
sharhght.b
Assertion
Ref Expression
sharhght
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem sharhght
StepHypRef Expression
1 sharhght.a . . . . . . . . 9
21simp3d 969 . . . . . . . 8
31simp1d 967 . . . . . . . 8
42, 3subcld 9173 . . . . . . 7
54adantr 451 . . . . . 6
6 sharhght.b . . . . . . . . 9
76simpld 445 . . . . . . . 8
87, 3subcld 9173 . . . . . . 7
98adantr 451 . . . . . 6
10 sharhght.sigar . . . . . . 7
1110sigarim 27944 . . . . . 6
125, 9, 11syl2anc 642 . . . . 5
1312recnd 8877 . . . 4
1413mul01d 9027 . . 3
151simp2d 968 . . . . . 6
1615adantr 451 . . . . 5
17 simpr 447 . . . . 5
1816, 17subeq0bd 9225 . . . 4
1918oveq2d 5890 . . 3
202, 15subcld 9173 . . . . . . . 8
2120adantr 451 . . . . . . 7
227, 15subcld 9173 . . . . . . . 8
2322adantr 451 . . . . . . 7
2410sigarval 27943 . . . . . . 7
2521, 23, 24syl2anc 642 . . . . . 6
267adantr 451 . . . . . . . . . 10
2717eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10
2826, 27subeq0bd 9225 . . . . . . . . 9
2928oveq2d 5890 . . . . . . . 8
3021cjcld 11697 . . . . . . . . 9
3130mul01d 9027 . . . . . . . 8
3229, 31eqtrd 2328 . . . . . . 7
3332fveq2d 5545 . . . . . 6
34 0re 8854 . . . . . . . 8
3534a1i 10 . . . . . . 7
3635reim0d 11726 . . . . . 6
3725, 33, 363eqtrd 2332 . . . . 5
3837oveq1d 5889 . . . 4
393adantr 451 . . . . . 6
4039, 26subcld 9173 . . . . 5
4140mul02d 9026 . . . 4
4238, 41eqtrd 2328 . . 3
4314, 19, 423eqtr4d 2338 . 2
442adantr 451 . . . . . . . . 9
4515adantr 451 . . . . . . . . 9
463adantr 451 . . . . . . . . 9
4744, 45, 46npncand 9197 . . . . . . . 8
4847oveq1d 5889 . . . . . . 7
4944, 45subcld 9173 . . . . . . . 8
508adantr 451 . . . . . . . 8
5145, 46subcld 9173 . . . . . . . 8
5210sigaraf 27946 . . . . . . . 8
5349, 50, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . 7
5448, 53eqtr3d 2330 . . . . . 6
556simprd 449 . . . . . . . . 9
5655adantr 451 . . . . . . . 8
577adantr 451 . . . . . . . . 9
5810sigarperm 27953 . . . . . . . . 9
5946, 45, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . . . 8
6056, 59eqtr3d 2330 . . . . . . 7
6160oveq2d 5890 . . . . . 6
6210sigarim 27944 . . . . . . . . 9
6349, 50, 62syl2anc 642 . . . . . . . 8
6463recnd 8877 . . . . . . 7
6564addid1d 9028 . . . . . 6
6654, 61, 653eqtr2d 2334 . . . . 5
6745, 57negsubdi2d 9189 . . . . . . . . . . . 12
6867eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11
6968oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10
7045, 57subcld 9173 . . . . . . . . . . 11
71 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13
7271neneqad 2529 . . . . . . . . . . . 12
7345, 57, 72subne0d 9182 . . . . . . . . . . 11
7470, 70, 73divnegd 9565 . . . . . . . . . 10
7570, 73dividd 9550 . . . . . . . . . . 11
7675negeqd 9062 . . . . . . . . . 10
7769, 74, 763eqtr2d 2334 . . . . . . . . 9
7877oveq1d 5889 . . . . . . . 8
7946, 57subcld 9173 . . . . . . . . 9
8079mulm1d 9247 . . . . . . . 8
8146, 57negsubdi2d 9189 . . . . . . . 8
8278, 80, 813eqtrd 2332 . . . . . . 7
8357, 45subcld 9173 . . . . . . . 8
8483, 70, 79, 73div32d 9575 . . . . . . 7
8582, 84eqtr3d 2330 . . . . . 6
8685oveq2d 5890 . . . . 5
8757, 46, 453jca 1132 . . . . . . 7
8810, 87, 71, 56sigardiv 27954 . . . . . 6
8910sigarls 27950 . . . . . 6
9049, 83, 88, 89syl3anc 1182 . . . . 5
9166, 86, 903eqtrd 2332 . . . 4
9291oveq1d 5889 . . 3
9310sigarim 27944 . . . . . 6
9493recnd 8877 . . . . 5
9549, 83, 94syl2anc 642 . . . 4
9679, 70, 73divcld 9552 . . . 4
9795, 96, 70mulassd 8874 . . 3
9879, 70, 73divcan1d 9553 . . . 4
9998oveq2d 5890 . . 3
10092, 97, 993eqtrd 2332 . 2
10143, 100pm2.61dan 766 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   cmin 9053  cneg 9054   cdiv 9439  ccj 11597  cim 11599 This theorem is referenced by:  cevathlem2  27961 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602
 Copyright terms: Public domain W3C validator