HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shatomistici Unicode version

Theorem shatomistici 22941
Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shatomistic.1  |-  A  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shatomistici  |-  A  =  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem shatomistici
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2343 . . . 4  |-  ( y  =  0h  ->  (
y  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  <->  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )
2 shatomistic.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e.  SH
32sheli 21793 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
4 spansnsh 22140 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  SH )
5 spanid 21926 . . . . . . . 8  |-  ( (
span `  { y } )  e.  SH  ->  ( span `  ( span `  { y } ) )  =  (
span `  { y } ) )
63, 4, 53syl 18 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  ( span `  ( span `  {
y } ) )  =  ( span `  {
y } ) )
76adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  ( span `  { y } ) )  =  ( span `  { y } ) )
8 spansna 22930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e. HAtoms )
93, 8sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e. HAtoms )
10 spansnss 22150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A )  ->  ( span `  {
y } )  C_  A )
112, 10mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  ( span `  { y } )  C_  A )
1211adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  C_  A
)
13 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( x  C_  A  <->  (
span `  { y } )  C_  A
) )
1413elrab 2923 . . . . . . . 8  |-  ( (
span `  { y } )  e.  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  <->  ( ( span `  { y } )  e. HAtoms  /\  ( span `  { y } )  C_  A )
)
159, 12, 14sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e.  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
16 elssuni 3855 . . . . . . 7  |-  ( (
span `  { y } )  e.  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  ( span `  { y } )  C_  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
17 atssch 22923 . . . . . . . . . . 11  |- HAtoms  C_  CH
18 chsssh 21805 . . . . . . . . . . 11  |-  CH  C_  SH
1917, 18sstri 3188 . . . . . . . . . 10  |- HAtoms  C_  SH
20 rabss2 3256 . . . . . . . . . 10  |-  (HAtoms  C_  SH  ->  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  { x  e.  SH  |  x  C_  A } )
21 uniss 3848 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  { x  e.  SH  |  x  C_  A }  ->  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A } )
2219, 20, 21mp2b 9 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }
23 unimax 3861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  SH  ->  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }  =  A )
242, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }  =  A
252shssii 21792 . . . . . . . . . 10  |-  A  C_  ~H
2624, 25eqsstri 3208 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }  C_  ~H
2722, 26sstri 3188 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  ~H
28 spanss 21927 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_ 
~H  /\  ( span `  { y } ) 
C_  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  ->  ( span `  ( span `  {
y } ) ) 
C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
2927, 28mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( (
span `  { y } )  C_  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  ( span `  ( span `  {
y } ) ) 
C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
3015, 16, 293syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  ( span `  { y } ) )  C_  ( span ` 
U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
) )
317, 30eqsstr3d 3213 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )
32 spansnid 22142 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ( span `  {
y } ) )
333, 32syl 15 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( span `  {
y } ) )
3433adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
y  e.  ( span `  { y } ) )
3531, 34sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
y  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
) )
36 spancl 21915 . . . . . 6  |-  ( U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  ~H  ->  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  e.  SH )
37 sh0 21795 . . . . . 6  |-  ( (
span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  e.  SH  ->  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
) )
3827, 36, 37mp2b 9 . . . . 5  |-  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
3938a1i 10 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
401, 35, 39pm2.61ne 2521 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
4140ssriv 3184 . 2  |-  A  C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
42 spanss 21927 . . . 4  |-  ( ( U. { x  e.  SH  |  x  C_  A }  C_  ~H  /\  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  U. { x  e.  SH  |  x  C_  A }
)  ->  ( span ` 
U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  C_  ( span ` 
U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } ) )
4326, 22, 42mp2an 653 . . 3  |-  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  C_  ( span ` 
U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } )
4424fveq2i 5528 . . . 4  |-  ( span `  U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } )  =  (
span `  A )
45 spanid 21926 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
462, 45ax-mp 8 . . . 4  |-  ( span `  A )  =  A
4744, 46eqtri 2303 . . 3  |-  ( span `  U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } )  =  A
4843, 47sseqtri 3210 . 2  |-  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  C_  A
4941, 48eqssi 3195 1  |-  A  =  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255   ~Hchil 21499   0hc0v 21504   SHcsh 21508   CHcch 21509   spancspn 21512  HAtomscat 21545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664  ax-hcompl 21781
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-subgo 20969  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832  df-span 21888  df-cv 22859  df-at 22918
  Copyright terms: Public domain W3C validator