Theorem shftf 6352

Description: Functionality of a restricted shifted sequence.

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
shftf	|- ((A e. D /\ B (_ CC /\ A.x e. B (F` (x - A)) e. C) -> ((F shift A) |` B):B-->C)

Distinct variable groups:   x,A   x,F   x,B   x,C

Proof of Theorem shftf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . 6 |- F e. V
2	1	shftres 6345	. . . . 5 |- ((A e. V /\ B (_ CC) -> ((F shift A) |` B) Fn B)
3	2	3adant3 801	. . . 4 |- ((A e. V /\ B (_ CC /\ A.x e. B (F` (x - A)) e. C) -> ((F shift A) |` B) Fn B)
4	1	shftresvalt 6346	. . . . . . . . 9 |- (x e. B -> (((F shift A) |` B)` x) = ((F shift A)` x))
5	4	adantl 390	. . . . . . . 8 |- (((A e. V /\ B (_ CC) /\ x e. B) -> (((F shift A) |` B)` x) = ((F shift A)` x))
6		ssel2 2067	. . . . . . . . . . 11 |- ((B (_ CC /\ x e. B) -> x e. CC)
7	6	anim2i 335	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (B (_ CC /\ x e. B)) -> (A e. V /\ x e. CC))
8	7	anassrs 443	. . . . . . . . 9 |- (((A e. V /\ B (_ CC) /\ x e. B) -> (A e. V /\ x e. CC))
9	1	shftvalt 6347	. . . . . . . . 9 |- ((A e. V /\ x e. CC) -> ((F shift A)` x) = (F` (x - A)))
10	8, 9	syl 10	. . . . . . . 8 |- (((A e. V /\ B (_ CC) /\ x e. B) -> ((F shift A)` x) = (F` (x - A)))
11	5, 10	eqtr2d 1511	. . . . . . 7 |- (((A e. V /\ B (_ CC) /\ x e. B) -> (F` (x - A)) = (((F shift A) |` B)` x))
12	11	eleq1d 1543	. . . . . 6 |- (((A e. V /\ B (_ CC) /\ x e. B) -> ((F` (x - A)) e. C <-> (((F shift A) |` B)` x) e. C))
13	12	ralbidva 1662	. . . . 5 |- ((A e. V /\ B (_ CC) -> (A.x e. B (F` (x - A)) e. C <-> A.x e. B (((F shift A) |` B)` x) e. C))
14	13	biimp3a 921	. . . 4 |- ((A e. V /\ B (_ CC /\ A.x e. B (F` (x - A)) e. C) -> A.x e. B (((F shift A) |` B)` x) e. C)
15	3, 14	jca 288	. . 3 |- ((A e. V /\ B (_ CC /\ A.x e. B (F` (x - A)) e. C) -> (((F shift A) |` B) Fn B /\ A.x e. B (((F shift A) |` B)` x) e. C))
16		ffnfv 3834	. . 3 |- (((F shift A) |` B):B-->C <-> (((F shift A) |` B) Fn B /\ A.x e. B (((F shift A) |` B)` x) e. C))
17	15, 16	sylibr 200	. 2 |- ((A e. V /\ B (_ CC /\ A.x e. B (F` (x - A)) e. C) -> ((F shift A) |` B):B-->C)
18		elisset 1820	. 2 |- (A e. D -> A e. V)
19	17, 18	syl3an1 861	1 |- ((A e. D /\ B (_ CC /\ A.x e. B (F` (x - A)) e. C) -> ((F shift A) |` B):B-->C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  Vcvv 1814   (_ wss 2050   |` cres 3178   Fn wfn 3183  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244   - cmin 5304   shift cshi 6341

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-qs 4272  df-ni 5012  df-nq 5050  df-np 5098  df-nr 5179  df-c 5252  df-shft 6342

Copyright terms: Public domain