Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftfn Structured version   Unicode version

Theorem shftfn 11888
 Description: Functionality and domain of a sequence shifted by . (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1
Assertion
Ref Expression
shftfn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem shftfn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relopab 5001 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 fnfun 5542 . . . . . 6
43adantr 452 . . . . 5
5 funmo 5470 . . . . . . 7
6 vex 2959 . . . . . . . . . 10
7 vex 2959 . . . . . . . . . 10
8 eleq1 2496 . . . . . . . . . . 11
9 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . 12
109breq1d 4222 . . . . . . . . . . 11
118, 10anbi12d 692 . . . . . . . . . 10
12 breq2 4216 . . . . . . . . . . 11
1312anbi2d 685 . . . . . . . . . 10
14 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
156, 7, 11, 13, 14brab 4477 . . . . . . . . 9
1615simprbi 451 . . . . . . . 8
1716moimi 2328 . . . . . . 7
185, 17syl 16 . . . . . 6
1918alrimiv 1641 . . . . 5
204, 19syl 16 . . . 4
21 dffun6 5469 . . . 4
222, 20, 21sylanbrc 646 . . 3
23 shftfval.1 . . . . . 6
2423shftfval 11885 . . . . 5
2524adantl 453 . . . 4
2625funeqd 5475 . . 3
2722, 26mpbird 224 . 2
2823shftdm 11886 . . 3
29 fndm 5544 . . . . 5
3029eleq2d 2503 . . . 4
3130rabbidv 2948 . . 3
3228, 31sylan9eqr 2490 . 2
33 df-fn 5457 . 2
3427, 32, 33sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  wmo 2282  crab 2709  cvv 2956   class class class wbr 4212  copab 4265   cdm 4878   wrel 4883   wfun 5448   wfn 5449  (class class class)co 6081  cc 8988   cmin 9291   cshi 11881 This theorem is referenced by:  shftf  11894  seqshft  11900 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293  df-shft 11882
 Copyright terms: Public domain W3C validator