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Theorem shftlem 11810
Description: Two ways to write a shifted set  ( B  +  A ). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
shftlem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  B }  =  { x  |  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) } )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem shftlem
StepHypRef Expression
1 df-rab 2658 . 2  |-  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  B }  =  {
x  |  ( x  e.  CC  /\  (
x  -  A )  e.  B ) }
2 npcan 9246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( x  -  A )  +  A
)  =  x )
32ancoms 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  -  A )  +  A
)  =  x )
43eqcomd 2392 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  x  =  ( ( x  -  A )  +  A ) )
5 oveq1 6027 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x  -  A )  ->  (
y  +  A )  =  ( ( x  -  A )  +  A ) )
65eqeq2d 2398 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  A )  ->  (
x  =  ( y  +  A )  <->  x  =  ( ( x  -  A )  +  A
) ) )
76rspcev 2995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  -  A
)  e.  B  /\  x  =  ( (
x  -  A )  +  A ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) )
87expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( x  -  A )  +  A )  ->  (
( x  -  A
)  e.  B  ->  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) ) )
94, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  -  A )  e.  B  ->  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) ) )
109expimpd 587 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  B )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) ) )
1110adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  -> 
( ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A )  e.  B )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A
) ) )
12 ssel2 3286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  CC )
13 addcl 9005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( y  +  A
)  e.  CC )
1412, 13sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  CC )  ->  ( y  +  A )  e.  CC )
15 pncan 9243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( y  +  A )  -  A
)  =  y )
1612, 15sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( y  +  A )  -  A )  =  y )
17 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  CC )  ->  y  e.  B
)
1816, 17eqeltrd 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( y  +  A )  -  A )  e.  B
)
1914, 18jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( y  +  A )  e.  CC  /\  ( ( y  +  A )  -  A )  e.  B ) )
2019ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
y  +  A )  e.  CC  /\  (
( y  +  A
)  -  A )  e.  B ) )
2120anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
y  +  A )  e.  CC  /\  (
( y  +  A
)  -  A )  e.  B ) )
22 eleq1 2447 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  A )  ->  (
x  e.  CC  <->  ( y  +  A )  e.  CC ) )
23 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  A )  ->  (
x  -  A )  =  ( ( y  +  A )  -  A ) )
2423eleq1d 2453 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  A )  ->  (
( x  -  A
)  e.  B  <->  ( (
y  +  A )  -  A )  e.  B ) )
2522, 24anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  A )  ->  (
( x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  B )  <-> 
( ( y  +  A )  e.  CC  /\  ( ( y  +  A )  -  A
)  e.  B ) ) )
2621, 25syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  =  ( y  +  A )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  B ) ) )
2726rexlimdva 2773 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  -> 
( E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A )  ->  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A )  e.  B ) ) )
2811, 27impbid 184 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  -> 
( ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A )  e.  B )  <->  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A
) ) )
2928abbidv 2501 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  ->  { x  |  (
x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  B ) }  =  { x  |  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) } )
301, 29syl5eq 2431 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  B }  =  { x  |  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373   E.wrex 2650   {crab 2653    C_ wss 3263  (class class class)co 6020   CCcc 8921    + caddc 8926    - cmin 9223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-sub 9225
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