HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shincl Structured version   Unicode version

Theorem shincl 22888
Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shincl  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  SH )

Proof of Theorem shincl
StepHypRef Expression
1 ineq1 3537 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  i^i  B
) )
21eleq1d 2504 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  ->  (
( A  i^i  B
)  e.  SH  <->  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  i^i  B )  e.  SH ) )
3 ineq2 3538 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H )  ->  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  i^i  B )  =  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H )
) )
43eleq1d 2504 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H )  ->  (
( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  i^i  B
)  e.  SH  <->  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H ) )  e.  SH ) )
5 helsh 22752 . . . 4  |-  ~H  e.  SH
65elimel 3793 . . 3  |-  if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  e.  SH
75elimel 3793 . . 3  |-  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H )  e.  SH
86, 7shincli 22869 . 2  |-  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H ) )  e.  SH
92, 4, 8dedth2h 3783 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  SH )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3321   ifcif 3741   ~Hchil 22427   SHcsh 22436
This theorem is referenced by:  orthin  22953  sumdmdii  23923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-hilex 22507  ax-hfvadd 22508  ax-hv0cl 22511  ax-hfvmul 22513
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-map 7023  df-nn 10006  df-hlim 22480  df-sh 22714  df-ch 22729
  Copyright terms: Public domain W3C validator