HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shincli Unicode version

Theorem shincli 21941
Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1  |-  A  e.  SH
shincl.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shincli  |-  ( A  i^i  B )  e.  SH

Proof of Theorem shincli
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
21elexi 2797 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 shincl.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
43elexi 2797 . . 3  |-  B  e. 
_V
52, 4intpr 3895 . 2  |-  |^| { A ,  B }  =  ( A  i^i  B )
61, 3pm3.2i 441 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )
72, 4prss 3769 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  <->  { A ,  B }  C_  SH )
86, 7mpbi 199 . . . 4  |-  { A ,  B }  C_  SH
92prnz 3745 . . . 4  |-  { A ,  B }  =/=  (/)
108, 9pm3.2i 441 . . 3  |-  ( { A ,  B }  C_  SH  /\  { A ,  B }  =/=  (/) )
1110shintcli 21908 . 2  |-  |^| { A ,  B }  e.  SH
125, 11eqeltrri 2354 1  |-  ( A  i^i  B )  e.  SH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    e. wcel 1684    =/= wne 2446    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {cpr 3641   |^|cint 3862   SHcsh 21508
This theorem is referenced by:  shincl  21960  shmodsi  21968  shmodi  21969  5oalem1  22233  5oalem3  22235  5oalem5  22237  5oalem6  22238  5oai  22240  3oalem2  22242  3oalem6  22246  cdj3lem1  23014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hv0cl 21583  ax-hfvmul 21585
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-sh 21786
  Copyright terms: Public domain W3C validator