Theorem shintcl 9288

Description: Closure of intersection of a non-empty subset of SH.

Hypothesis

Ref	Expression
shintcl.1	|- (A (_ SH /\ A =/= (/))

Assertion

Ref	Expression
shintcl	|- |^|A e. SH

Proof of Theorem shintcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sh 9073	. 2 |- (|^|A e. SH <-> ((|^|A (_ H~ /\ 0h e. |^|A) /\ (A.x e. |^|AA.y e. |^|A(x +h y) e. |^|A /\ A.x e. CC A.y e. |^|A(x .h y) e. |^|A)))
2		shintcl.1	. . . . 5 |- (A (_ SH /\ A =/= (/))
3	2	pm3.27i 324	. . . 4 |- A =/= (/)
4		ne0 2292	. . . . 5 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
5		intss1 2552	. . . . . . 7 |- (z e. A -> |^|A (_ z)
6	2	pm3.26i 320	. . . . . . . . 9 |- A (_ SH
7	6	sseli 2068	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> z e. SH)
8		shss 9074	. . . . . . . 8 |- (z e. SH -> z (_ H~)
9	7, 8	syl 10	. . . . . . 7 |- (z e. A -> z (_ H~)
10	5, 9	sstrd 2077	. . . . . 6 |- (z e. A -> |^|A (_ H~)
11	10	19.23aiv 1297	. . . . 5 |- (E.z z e. A -> |^|A (_ H~)
12	4, 11	sylbi 199	. . . 4 |- (A =/= (/) -> |^|A (_ H~)
13	3, 12	ax-mp 7	. . 3 |- |^|A (_ H~
14		ax-hv0cl 8868	. . . . . 6 |- 0h e. H~
15	14	elisseti 1821	. . . . 5 |- 0h e. V
16	15	elint2 2544	. . . 4 |- (0h e. |^|A <-> A.z e. A 0h e. z)
17		sh0 9079	. . . . 5 |- (z e. SH -> 0h e. z)
18	7, 17	syl 10	. . . 4 |- (z e. A -> 0h e. z)
19	16, 18	mprgbir 1704	. . 3 |- 0h e. |^|A
20	13, 19	pm3.2i 285	. 2 |- (|^|A (_ H~ /\ 0h e. |^|A)
21		shaddclt 9080	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. SH /\ x e. z /\ y e. z) -> (x +h y) e. z)
22	21, 7	syl3an1 861	. . . . . . . . 9 |- ((z e. A /\ x e. z /\ y e. z) -> (x +h y) e. z)
23	22	3expib 838	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> ((x e. z /\ y e. z) -> (x +h y) e. z))
24		elinti 2546	. . . . . . . . 9 |- (x e. |^|A -> (z e. A -> x e. z))
25	24	com12 11	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> (x e. |^|A -> x e. z))
26		elinti 2546	. . . . . . . . 9 |- (y e. |^|A -> (z e. A -> y e. z))
27	26	com12 11	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> (y e. |^|A -> y e. z))
28	23, 25, 27	syl2and 461	. . . . . . 7 |- (z e. A -> ((x e. |^|A /\ y e. |^|A) -> (x +h y) e. z))
29	28	com12 11	. . . . . 6 |- ((x e. |^|A /\ y e. |^|A) -> (z e. A -> (x +h y) e. z))
30	29	r19.21aiv 1716	. . . . 5 |- ((x e. |^|A /\ y e. |^|A) -> A.z e. A (x +h y) e. z)
31		oprex 3989	. . . . . 6 |- (x +h y) e. V
32	31	elint2 2544	. . . . 5 |- ((x +h y) e. |^|A <-> A.z e. A (x +h y) e. z)
33	30, 32	sylibr 200	. . . 4 |- ((x e. |^|A /\ y e. |^|A) -> (x +h y) e. |^|A)
34	33	rgen2a 1702	. . 3 |- A.x e. |^|AA.y e. |^|A(x +h y) e. |^|A
35		shmulclt 9082	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. SH /\ x e. CC /\ y e. z) -> (x .h y) e. z)
36	35, 7	syl3an1 861	. . . . . . . . 9 |- ((z e. A /\ x e. CC /\ y e. z) -> (x .h y) e. z)
37	36	3expib 838	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> ((x e. CC /\ y e. z) -> (x .h y) e. z))
38	37, 27	sylan2d 460	. . . . . . 7 |- (z e. A -> ((x e. CC /\ y e. |^|A) -> (x .h y) e. z))
39	38	com12 11	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y e. |^|A) -> (z e. A -> (x .h y) e. z))
40	39	r19.21aiv 1716	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. |^|A) -> A.z e. A (x .h y) e. z)
41		oprex 3989	. . . . . 6 |- (x .h y) e. V
42	41	elint2 2544	. . . . 5 |- ((x .h y) e. |^|A <-> A.z e. A (x .h y) e. z)
43	40, 42	sylibr 200	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. |^|A) -> (x .h y) e. |^|A)
44	43	rgen2 1726	. . 3 |- A.x e. CC A.y e. |^|A(x .h y) e. |^|A
45	34, 44	pm3.2i 285	. 2 |- (A.x e. |^|AA.y e. |^|A(x +h y) e. |^|A /\ A.x e. CC A.y e. |^|A(x .h y) e. |^|A)
46	1, 20, 45	mpbir2an 732	1 |- |^|A e. SH

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 960  E.wex 982   =/= wne 1588  A.wral 1648   (_ wss 2050  (/)c0 2283  |^|cint 2537  (class class class)co 3969  CCcc 5244  H~chil 8783   +h cva 8784   .h csm 8785  0hc0v 8786  SHcsh 8792

This theorem is referenced by:  shintclt 9289  chintcl 9290  shincl 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864  ax-hv0cl 8868

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fv 3204  df-opr 3971  df-sh 9071

Copyright terms: Public domain