Theorem shintcl 22789

Description: The intersection of a non-empty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shintcl	|- ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) -> |^| A e. SH )

Proof of Theorem shintcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inteq 4017	. . 3 |- ( A = if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) -> |^| A = |^| if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) )
2	1	eleq1d 2474	. 2 |- ( A = if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) -> ( |^| A e. SH <-> |^| if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) e. SH ) )
3		sseq1 3333	. . . . 5 |- ( A = if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) -> ( A C_ SH <-> if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) C_ SH ) )
4		neeq1 2579	. . . . 5 |- ( A = if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) -> ( A =/= (/) <-> if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) =/= (/) ) )
5	3, 4	anbi12d 692	. . . 4 |- ( A = if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) -> ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) <-> ( if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) C_ SH /\ if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) =/= (/) ) ) )
6		sseq1 3333	. . . . 5 |- ( SH = if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) -> ( SH C_ SH <-> if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) C_ SH ) )
7		neeq1 2579	. . . . 5 |- ( SH = if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) -> ( SH =/= (/) <-> if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) =/= (/) ) )
8	6, 7	anbi12d 692	. . . 4 |- ( SH = if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) -> ( ( SH C_ SH /\ SH =/= (/) ) <-> ( if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) C_ SH /\ if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) =/= (/) ) ) )
9		ssid 3331	. . . . 5 |- SH C_ SH
10		h0elsh 22715	. . . . . 6 |- 0H e. SH
11		ne0i 3598	. . . . . 6 |- ( 0H e. SH -> SH =/= (/) )
12	10, 11	ax-mp 8	. . . . 5 |- SH =/= (/)
13	9, 12	pm3.2i 442	. . . 4 |- ( SH C_ SH /\ SH =/= (/) )
14	5, 8, 13	elimhyp 3751	. . 3 |- ( if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) C_ SH /\ if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) =/= (/) )
15	14	shintcli 22788	. 2 |- |^| if ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) , A , SH ) e. SH
16	2, 15	dedth 3744	1 |- ( ( A C_ SH /\ A =/= (/) ) -> |^| A e. SH )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2571   C_ wss 3284   (/)c0 3592   ifcif 3703   |^|cint 4014   SHcsh 22388   0Hc0h 22395

This theorem is referenced by:  spancl  22795  shsval2i  22846

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hvcom 22461  ax-hvass 22462  ax-hv0cl 22463  ax-hvaddid 22464  ax-hfvmul 22465  ax-hvmulid 22466  ax-hvmulass 22467  ax-hvdistr1 22468  ax-hvdistr2 22469  ax-hvmul0 22470  ax-hfi 22538  ax-his1 22541  ax-his2 22542  ax-his3 22543  ax-his4 22544

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-icc 10883  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-topgen 13626  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-lm 17251  df-haus 17337  df-grpo 21736  df-gid 21737  df-ginv 21738  df-gdiv 21739  df-ablo 21827  df-vc 21982  df-nv 22028  df-va 22031  df-ba 22032  df-sm 22033  df-0v 22034  df-vs 22035  df-nmcv 22036  df-ims 22037  df-hnorm 22428  df-hvsub 22431  df-hlim 22432  df-sh 22666  df-ch 22681  df-ch0 22712