HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shless Unicode version

Theorem shless 22710
Description: Subset implies subset of subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shless  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +H  C )  C_  ( B  +H  C ) )

Proof of Theorem shless
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrexv 3352 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  C  x  =  ( y  +h  z )  ->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  x  =  ( y  +h  z
) ) )
21adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  /\  A  C_  B )  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  C  x  =  ( y  +h  z
)  ->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  x  =  ( y  +h  z
) ) )
3 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  /\  A  C_  B )  ->  A  e.  SH )
4 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  /\  A  C_  B )  ->  C  e.  SH )
5 shsel 22665 . . . 4  |-  ( ( A  e.  SH  /\  C  e.  SH )  ->  ( x  e.  ( A  +H  C )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  C  x  =  ( y  +h  z ) ) )
63, 4, 5syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  /\  A  C_  B )  ->  ( x  e.  ( A  +H  C
)  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  C  x  =  ( y  +h  z ) ) )
7 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  /\  A  C_  B )  ->  B  e.  SH )
8 shsel 22665 . . . 4  |-  ( ( B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  ->  ( x  e.  ( B  +H  C )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  x  =  ( y  +h  z ) ) )
97, 4, 8syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  /\  A  C_  B )  ->  ( x  e.  ( B  +H  C
)  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  x  =  ( y  +h  z ) ) )
102, 6, 93imtr4d 260 . 2  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  /\  A  C_  B )  ->  ( x  e.  ( A  +H  C
)  ->  x  e.  ( B  +H  C
) ) )
1110ssrdv 3298 1  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +H  C )  C_  ( B  +H  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2651    C_ wss 3264  (class class class)co 6021    +h cva 22272   SHcsh 22280    +H cph 22283
This theorem is referenced by:  shlessi  22728  pjpjpre  22770  chscllem1  22988  chscllem2  22989  chscllem3  22990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-hilex 22351  ax-hfvadd 22352  ax-hvcom 22353  ax-hvass 22354  ax-hv0cl 22355  ax-hvaddid 22356  ax-hfvmul 22357  ax-hvmulid 22358  ax-hvdistr2 22361  ax-hvmul0 22362
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-ltxr 9059  df-sub 9226  df-neg 9227  df-grpo 21628  df-ablo 21719  df-hvsub 22323  df-sh 22558  df-shs 22659
  Copyright terms: Public domain W3C validator