HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscl Unicode version

Theorem shscl 22210
Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shscl  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  e.  SH )

Proof of Theorem shscl
StepHypRef Expression
1 oveq1 5988 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  ->  ( A  +H  B )  =  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  B
) )
21eleq1d 2432 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  ->  (
( A  +H  B
)  e.  SH  <->  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  B )  e.  SH ) )
3 oveq2 5989 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H )  ->  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  B )  =  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H )
) )
43eleq1d 2432 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H )  ->  (
( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  B
)  e.  SH  <->  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H ) )  e.  SH ) )
5 helsh 22137 . . . 4  |-  ~H  e.  SH
65elimel 3706 . . 3  |-  if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  e.  SH
75elimel 3706 . . 3  |-  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H )  e.  SH
86, 7shscli 22209 . 2  |-  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H ) )  e.  SH
92, 4, 8dedth2h 3696 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  e.  SH )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   ifcif 3654  (class class class)co 5981   ~Hchil 21812   SHcsh 21821    +H cph 21824
This theorem is referenced by:  shsvs  22215  spanpr  22472  chscllem2  22530  chscl  22533
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-hilex 21892  ax-hfvadd 21893  ax-hvcom 21894  ax-hvass 21895  ax-hv0cl 21896  ax-hvaddid 21897  ax-hfvmul 21898  ax-hvmulid 21899  ax-hvdistr1 21901  ax-hvdistr2 21902  ax-hvmul0 21903
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-ltxr 9019  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-grpo 21169  df-ablo 21260  df-hvsub 21864  df-hlim 21865  df-sh 22099  df-ch 22114  df-shs 22200
  Copyright terms: Public domain W3C validator