HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscli Unicode version

Theorem shscli 22667
Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shscl.1  |-  A  e.  SH
shscl.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shscli  |-  ( A  +H  B )  e.  SH

Proof of Theorem shscli
Dummy variables  x  f  y  z  w  g  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shscl.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
2 shscl.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
3 shsss 22663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  C_  ~H )
41, 2, 3mp2an 654 . . 3  |-  ( A  +H  B )  C_  ~H
5 sh0 22566 . . . . . 6  |-  ( A  e.  SH  ->  0h  e.  A )
61, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  0h  e.  A
7 sh0 22566 . . . . . 6  |-  ( B  e.  SH  ->  0h  e.  B )
82, 7ax-mp 8 . . . . 5  |-  0h  e.  B
9 ax-hv0cl 22354 . . . . . . 7  |-  0h  e.  ~H
109hvaddid2i 22379 . . . . . 6  |-  ( 0h 
+h  0h )  =  0h
1110eqcomi 2391 . . . . 5  |-  0h  =  ( 0h  +h  0h )
12 rspceov 6055 . . . . 5  |-  ( ( 0h  e.  A  /\  0h  e.  B  /\  0h  =  ( 0h  +h  0h ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  0h  =  ( x  +h  y
) )
136, 8, 11, 12mp3an 1279 . . . 4  |-  E. x  e.  A  E. y  e.  B  0h  =  ( x  +h  y
)
141, 2shseli 22666 . . . 4  |-  ( 0h  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  0h  =  ( x  +h  y
) )
1513, 14mpbir 201 . . 3  |-  0h  e.  ( A  +H  B
)
164, 15pm3.2i 442 . 2  |-  ( ( A  +H  B ) 
C_  ~H  /\  0h  e.  ( A  +H  B
) )
171, 2shseli 22666 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  +H  B )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w
) )
181, 2shseli 22666 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  +H  B )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u
) )
19 shaddcl 22567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  z  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( z  +h  v
)  e.  A )
201, 19mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( z  +h  v
)  e.  A )
2120ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  B ) )  -> 
( z  +h  v
)  e.  A )
2221ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( z  +h  v )  e.  A
)
23 shaddcl 22567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  SH  /\  w  e.  B  /\  u  e.  B )  ->  ( w  +h  u
)  e.  B )
242, 23mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  B  /\  u  e.  B )  ->  ( w  +h  u
)  e.  B )
2524ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  B ) )  -> 
( w  +h  u
)  e.  B )
2625ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( w  +h  u )  e.  B
)
27 oveq12 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( z  +h  w )  /\  y  =  ( v  +h  u ) )  -> 
( x  +h  y
)  =  ( ( z  +h  w )  +h  ( v  +h  u ) ) )
2827ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( x  +h  y )  =  ( ( z  +h  w
)  +h  ( v  +h  u ) ) )
291sheli 22564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ~H )
301sheli 22564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  A  ->  v  e.  ~H )
3129, 30anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( z  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )
)
322sheli 22564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ~H )
332sheli 22564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  B  ->  u  e.  ~H )
3432, 33anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  B  /\  u  e.  B )  ->  ( w  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )
)
35 hvadd4 22386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  /\  ( w  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )
)  ->  ( (
z  +h  v )  +h  ( w  +h  u ) )  =  ( ( z  +h  w )  +h  (
v  +h  u ) ) )
3631, 34, 35syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( w  e.  B  /\  u  e.  B ) )  -> 
( ( z  +h  v )  +h  (
w  +h  u ) )  =  ( ( z  +h  w )  +h  ( v  +h  u ) ) )
3736an4s 800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  B ) )  -> 
( ( z  +h  v )  +h  (
w  +h  u ) )  =  ( ( z  +h  w )  +h  ( v  +h  u ) ) )
3837ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( ( z  +h  v )  +h  ( w  +h  u
) )  =  ( ( z  +h  w
)  +h  ( v  +h  u ) ) )
3928, 38eqtr4d 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( x  +h  y )  =  ( ( z  +h  v
)  +h  ( w  +h  u ) ) )
40 rspceov 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  +h  v
)  e.  A  /\  ( w  +h  u
)  e.  B  /\  ( x  +h  y
)  =  ( ( z  +h  v )  +h  ( w  +h  u ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
4122, 26, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
4241ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
4342exp43 596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  ->  ( y  =  ( v  +h  u )  ->  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  (
x  =  ( z  +h  w )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) ) ) ) )
4443rexlimivv 2778 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u )  ->  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  ->  ( x  =  ( z  +h  w )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y )  =  ( f  +h  g ) ) ) )
4544com3l 77 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  ( x  =  ( z  +h  w )  ->  ( E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u
)  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y )  =  ( f  +h  g ) ) ) )
4645rexlimivv 2778 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w )  ->  ( E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y )  =  ( f  +h  g ) ) )
4746imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w )  /\  E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
4817, 18, 47syl2anb 466 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  +H  B )  /\  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
491, 2shseli 22666 . . . . 5  |-  ( ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y )  =  ( f  +h  g ) )
5048, 49sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  +H  B )  /\  y  e.  ( A  +H  B ) )  -> 
( x  +h  y
)  e.  ( A  +H  B ) )
5150rgen2a 2715 . . 3  |-  A. x  e.  ( A  +H  B
) A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  B )
52 shmulcl 22568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  SH  /\  x  e.  CC  /\  v  e.  A )  ->  (
x  .h  v )  e.  A )
531, 52mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  v  e.  A )  ->  ( x  .h  v
)  e.  A )
5453adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  v
)  e.  A )
55 shmulcl 22568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  SH  /\  x  e.  CC  /\  u  e.  B )  ->  (
x  .h  u )  e.  B )
562, 55mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  B )  ->  ( x  .h  u
)  e.  B )
5756adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) )  ->  (
x  .h  u )  e.  B )
5857adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  u
)  e.  B )
59 oveq2 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( v  +h  u )  ->  (
x  .h  y )  =  ( x  .h  ( v  +h  u
) ) )
6059adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  B  /\  y  =  ( v  +h  u ) )  -> 
( x  .h  y
)  =  ( x  .h  ( v  +h  u ) ) )
6160ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  y
)  =  ( x  .h  ( v  +h  u ) ) )
62 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
63 ax-hvdistr1 22359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
x  .h  ( v  +h  u ) )  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u
) ) )
6462, 30, 33, 63syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  v  e.  A  /\  u  e.  B )  ->  ( x  .h  (
v  +h  u ) )  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u ) ) )
65643expb 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  B
) )  ->  (
x  .h  ( v  +h  u ) )  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u
) ) )
6665adantrrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  (
v  +h  u ) )  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u ) ) )
6761, 66eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  y
)  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u ) ) )
68 rspceov 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  .h  v
)  e.  A  /\  ( x  .h  u
)  e.  B  /\  ( x  .h  y
)  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
6954, 58, 67, 68syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
7069ancoms 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) )
7170exp42 595 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  A  ->  (
u  e.  B  -> 
( y  =  ( v  +h  u )  ->  ( x  e.  CC  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) ) ) ) )
7271imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  ->  ( y  =  ( v  +h  u )  ->  ( x  e.  CC  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) ) ) )
7372rexlimivv 2778 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u )  ->  (
x  e.  CC  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  (
x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) ) )
7473impcom 420 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
7518, 74sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
761, 2shseli 22666 . . . . 5  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ( A  +H  B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) )
7775, 76sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( A  +H  B ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ( A  +H  B ) )
7877rgen2 2745 . . 3  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  .h  y )  e.  ( A  +H  B )
7951, 78pm3.2i 442 . 2  |-  ( A. x  e.  ( A  +H  B ) A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  B )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  .h  y )  e.  ( A  +H  B ) )
80 issh2 22559 . 2  |-  ( ( A  +H  B )  e.  SH  <->  ( (
( A  +H  B
)  C_  ~H  /\  0h  e.  ( A  +H  B
) )  /\  ( A. x  e.  ( A  +H  B ) A. y  e.  ( A  +H  B ) ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  B
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  .h  y )  e.  ( A  +H  B ) ) ) )
8116, 79, 80mpbir2an 887 1  |-  ( A  +H  B )  e.  SH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    C_ wss 3263  (class class class)co 6020   CCcc 8921   ~Hchil 22270    +h cva 22271    .h csm 22272   0hc0v 22275   SHcsh 22279    +H cph 22282
This theorem is referenced by:  shscl  22668  shsval2i  22737  shjshsi  22842  spanuni  22894  5oalem1  23004  5oalem3  23006  5oalem5  23008  5oalem6  23009  5oai  23011  3oalem2  23013  3oalem6  23017  mayete3i  23078  mayete3iOLD  23079  sumdmdlem  23769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvdistr1 22359  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-sub 9225  df-neg 9226  df-grpo 21627  df-ablo 21718  df-hvsub 22322  df-sh 22557  df-shs 22658
  Copyright terms: Public domain W3C validator