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Theorem shscli 21912
Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shscl.1  |-  A  e.  SH
shscl.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shscli  |-  ( A  +H  B )  e.  SH

Proof of Theorem shscli
Dummy variables  x  f  y  z  w  g  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shscl.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
2 shscl.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
3 shsss 21908 . . . 4  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  C_  ~H )
41, 2, 3mp2an 653 . . 3  |-  ( A  +H  B )  C_  ~H
5 sh0 21811 . . . . . 6  |-  ( A  e.  SH  ->  0h  e.  A )
61, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  0h  e.  A
7 sh0 21811 . . . . . 6  |-  ( B  e.  SH  ->  0h  e.  B )
82, 7ax-mp 8 . . . . 5  |-  0h  e.  B
9 ax-hv0cl 21599 . . . . . . 7  |-  0h  e.  ~H
109hvaddid2i 21624 . . . . . 6  |-  ( 0h 
+h  0h )  =  0h
1110eqcomi 2300 . . . . 5  |-  0h  =  ( 0h  +h  0h )
12 rspceov 5909 . . . . 5  |-  ( ( 0h  e.  A  /\  0h  e.  B  /\  0h  =  ( 0h  +h  0h ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  0h  =  ( x  +h  y
) )
136, 8, 11, 12mp3an 1277 . . . 4  |-  E. x  e.  A  E. y  e.  B  0h  =  ( x  +h  y
)
141, 2shseli 21911 . . . 4  |-  ( 0h  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  0h  =  ( x  +h  y
) )
1513, 14mpbir 200 . . 3  |-  0h  e.  ( A  +H  B
)
164, 15pm3.2i 441 . 2  |-  ( ( A  +H  B ) 
C_  ~H  /\  0h  e.  ( A  +H  B
) )
171, 2shseli 21911 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  +H  B )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w
) )
181, 2shseli 21911 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  +H  B )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u
) )
19 shaddcl 21812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  z  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( z  +h  v
)  e.  A )
201, 19mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( z  +h  v
)  e.  A )
2120ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  B ) )  -> 
( z  +h  v
)  e.  A )
2221ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( z  +h  v )  e.  A
)
23 shaddcl 21812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  SH  /\  w  e.  B  /\  u  e.  B )  ->  ( w  +h  u
)  e.  B )
242, 23mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  B  /\  u  e.  B )  ->  ( w  +h  u
)  e.  B )
2524ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  B ) )  -> 
( w  +h  u
)  e.  B )
2625ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( w  +h  u )  e.  B
)
27 oveq12 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( z  +h  w )  /\  y  =  ( v  +h  u ) )  -> 
( x  +h  y
)  =  ( ( z  +h  w )  +h  ( v  +h  u ) ) )
2827ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( x  +h  y )  =  ( ( z  +h  w
)  +h  ( v  +h  u ) ) )
291sheli 21809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ~H )
301sheli 21809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  A  ->  v  e.  ~H )
3129, 30anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( z  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )
)
322sheli 21809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ~H )
332sheli 21809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  B  ->  u  e.  ~H )
3432, 33anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  B  /\  u  e.  B )  ->  ( w  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )
)
35 hvadd4 21631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  /\  ( w  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )
)  ->  ( (
z  +h  v )  +h  ( w  +h  u ) )  =  ( ( z  +h  w )  +h  (
v  +h  u ) ) )
3631, 34, 35syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( w  e.  B  /\  u  e.  B ) )  -> 
( ( z  +h  v )  +h  (
w  +h  u ) )  =  ( ( z  +h  w )  +h  ( v  +h  u ) ) )
3736an4s 799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  B ) )  -> 
( ( z  +h  v )  +h  (
w  +h  u ) )  =  ( ( z  +h  w )  +h  ( v  +h  u ) ) )
3837ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( ( z  +h  v )  +h  ( w  +h  u
) )  =  ( ( z  +h  w
)  +h  ( v  +h  u ) ) )
3928, 38eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( x  +h  y )  =  ( ( z  +h  v
)  +h  ( w  +h  u ) ) )
40 rspceov 5909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  +h  v
)  e.  A  /\  ( w  +h  u
)  e.  B  /\  ( x  +h  y
)  =  ( ( z  +h  v )  +h  ( w  +h  u ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
4122, 26, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
4241ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
4342exp43 595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  ->  ( y  =  ( v  +h  u )  ->  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  (
x  =  ( z  +h  w )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) ) ) ) )
4443rexlimivv 2685 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u )  ->  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  ->  ( x  =  ( z  +h  w )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y )  =  ( f  +h  g ) ) ) )
4544com3l 75 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  ( x  =  ( z  +h  w )  ->  ( E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u
)  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y )  =  ( f  +h  g ) ) ) )
4645rexlimivv 2685 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w )  ->  ( E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y )  =  ( f  +h  g ) ) )
4746imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w )  /\  E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
4817, 18, 47syl2anb 465 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  +H  B )  /\  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
491, 2shseli 21911 . . . . 5  |-  ( ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y )  =  ( f  +h  g ) )
5048, 49sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  +H  B )  /\  y  e.  ( A  +H  B ) )  -> 
( x  +h  y
)  e.  ( A  +H  B ) )
5150rgen2a 2622 . . 3  |-  A. x  e.  ( A  +H  B
) A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  B )
52 shmulcl 21813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  SH  /\  x  e.  CC  /\  v  e.  A )  ->  (
x  .h  v )  e.  A )
531, 52mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  v  e.  A )  ->  ( x  .h  v
)  e.  A )
5453adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  v
)  e.  A )
55 shmulcl 21813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  SH  /\  x  e.  CC  /\  u  e.  B )  ->  (
x  .h  u )  e.  B )
562, 55mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  B )  ->  ( x  .h  u
)  e.  B )
5756adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) )  ->  (
x  .h  u )  e.  B )
5857adantrl 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  u
)  e.  B )
59 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( v  +h  u )  ->  (
x  .h  y )  =  ( x  .h  ( v  +h  u
) ) )
6059adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  B  /\  y  =  ( v  +h  u ) )  -> 
( x  .h  y
)  =  ( x  .h  ( v  +h  u ) ) )
6160ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  y
)  =  ( x  .h  ( v  +h  u ) ) )
62 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
63 ax-hvdistr1 21604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
x  .h  ( v  +h  u ) )  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u
) ) )
6462, 30, 33, 63syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  v  e.  A  /\  u  e.  B )  ->  ( x  .h  (
v  +h  u ) )  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u ) ) )
65643expb 1152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  B
) )  ->  (
x  .h  ( v  +h  u ) )  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u
) ) )
6665adantrrr 705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  (
v  +h  u ) )  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u ) ) )
6761, 66eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  y
)  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u ) ) )
68 rspceov 5909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  .h  v
)  e.  A  /\  ( x  .h  u
)  e.  B  /\  ( x  .h  y
)  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
6954, 58, 67, 68syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
7069ancoms 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) )
7170exp42 594 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  A  ->  (
u  e.  B  -> 
( y  =  ( v  +h  u )  ->  ( x  e.  CC  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) ) ) ) )
7271imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  ->  ( y  =  ( v  +h  u )  ->  ( x  e.  CC  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) ) ) )
7372rexlimivv 2685 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u )  ->  (
x  e.  CC  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  (
x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) ) )
7473impcom 419 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
7518, 74sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
761, 2shseli 21911 . . . . 5  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ( A  +H  B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) )
7775, 76sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( A  +H  B ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ( A  +H  B ) )
7877rgen2 2652 . . 3  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  .h  y )  e.  ( A  +H  B )
7951, 78pm3.2i 441 . 2  |-  ( A. x  e.  ( A  +H  B ) A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  B )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  .h  y )  e.  ( A  +H  B ) )
80 issh2 21804 . 2  |-  ( ( A  +H  B )  e.  SH  <->  ( (
( A  +H  B
)  C_  ~H  /\  0h  e.  ( A  +H  B
) )  /\  ( A. x  e.  ( A  +H  B ) A. y  e.  ( A  +H  B ) ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  B
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  .h  y )  e.  ( A  +H  B ) ) ) )
8116, 79, 80mpbir2an 886 1  |-  ( A  +H  B )  e.  SH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165  (class class class)co 5874   CCcc 8751   ~Hchil 21515    +h cva 21516    .h csm 21517   0hc0v 21520   SHcsh 21524    +H cph 21527
This theorem is referenced by:  shscl  21913  shsval2i  21982  shjshsi  22087  spanuni  22139  5oalem1  22249  5oalem3  22251  5oalem5  22253  5oalem6  22254  5oai  22256  3oalem2  22258  3oalem6  22262  mayete3i  22323  mayete3iOLD  22324  sumdmdlem  23014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-neg 9056  df-grpo 20874  df-ablo 20965  df-hvsub 21567  df-sh 21802  df-shs 21903
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